Исследование биквадратного уравнения
Преобразуем биквадратное уравнение к приведенному. Для этого разделим обе его части на A, зная, что , получим: . Положим , приходим к уравнению: . Заменим , получим квадратное уравнение: . Полученное квадратное уравнение, при D < 0, т. е. при не имеет действительных корней, а значит не будет иметь корней и исходное биквадратное уравнение.
Если D = 0, т. е. , тогда квадратное уравнение имеет один действительный корень , а биквадратное уравнение может: а) имеет два равных по модулю, но противоположных по знаку корня - это будет в том случае, если полученный корень положительный, что произойдет при ; б) не имеет корней, если полученный корень отрицательный, что получится при P > 0; в) иметь единственный корень, x = 0, если P = 0, но тогда и Q = 0.
Если D > 0, , тогда квадратное уравнение имеет два различных действительных корня , а биквадратное уравнение может: а) не иметь действительных корней, если оба корня отрицательные, что произойдет при ; б) имеет два корня, если один из корней квадратного уравнения отрицателен, а другой - положителен, т. е. корни и - разных знаков, что произойдет при Q<0; в) имеет три корня, если один из корней соответствующего квадратного уравнения равен нулю, а второй положителен, положим , а , что произойдет при ; г) имеет четыре корня, если оба корня и положительные, что произойдет при Q > 0 и P < 0. Выводы
1. Биквадратное уравнение не имеет действительных кор ней, если: а) ; б) и P > 0; в) , Q > 0 и P > 0. 2. Биквадратное уравнение имеет один действительный корень, если: P = Q = 0. 3. Биквадратное уравнение имеет два действительных, равных по модулю, но противоположных по знаку, отличных от нуля корня, если: а) и P < 0; б) и Q < 0. 4. Имеет четыре действительных, отличных от нуля, корня, если , Q > 0 и P < 0.
Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел .
Решение
Положим , получим квадратное уравнение , которое имеет два различных действительных корня: . Получим два уравнения: (1) ; (2) .
Ответ: , .
Пример 2. При каком значении равнение имеет два равных по модулю корня? .
Решение Биквадратное уравнение имеет два действительных, равных по модулю, но противоположных по знаку, отличных от нуля корня, если: а) и P < 0;б) и Q < 0. Для данного уравнения: , . а) Получим смешанную систему: б) Из условий и Q < 0 получим систему неравенств:
Рис. 56 Ответ: при и , или можно записать так .
Пример 3. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три корня: .
Решение
Уравнение имеет три различных действительных корня, если P < 0 и Q = 0. Преобразуем уравнение в приведенное, потребовав, чтобы . Это неравенство будет выполняться при . Получим приведенное уравнение: , в котором . Для этого уравнения получим смешанную систему:
Последняя система распадается на совокупность двух систем:
(1) Эту систему решим методом промежутков:
Рис. 57
Получим результат: . (2) система не имеет решений. Осталось исследовать уравнение, при значении a = -2. Получим уравнение: . В этом случае, уравнение имеет только один корень, значит a = -2 не может удовлетворять условию задачи.
Ответ: .
Пример 4. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три корня: .
Решение
Область допустимых значений параметра a: . Преобразуем уравнение к приведенному, предположив при этом, что первый коэффициент не равен нулю: . Получим уравнение . Поскольку , тогда уравнение примет вид: , в котором , . Уравнение имеет три различных действительных корня, если P < 0 и Q = 0. Получим смешанную систему поскольку , тогда система примет вид:
которая распадается на две системы.
(1)
Рис. 58
Решением системы является объединение промежутков: . (2) система не имеет решений. Исследуем уравнение при a = -1 и a = 1. Если a = -1, уравнение примет вид: - уравнение имеет бесконечное множество решений, значит a = -1 не удовлетворяет условию задачи. Если a = 1, уравнение примет вид: - один корень, значит a = 1 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: .
|