Жесть, ответ короче вопроса, блин и больше инфы не ма в официальных источника,. поэтому, инфа с инета осторожней с обозначениями могут быть расхождения

При ортогональном преобразовании сохраняются длины векторов и углы между ними.

 

 

39. Как вычисляется матрица линейного оператора при изменении базиса?

 

Обозначим через А матрицу некоторого линейного оператора в старом базисе, а через В – матрицу того же оператора в новом базисе. Если обозначить через Х и Y – одностолбцовые матрицы, элементами которых являются координаты векторов прообраза и образа в старом базисе, а через X’ и Y’ – одностолбцовые матрицы, элементами которых являются координаты векторов – прообраза и образа в новом базисе, тогда

Y = AB; (1) Y’ = BX’.(2)

Обозначив через Т – матрицу поворотоа координатной системы, будем иметь:

X = TX’;(3)Y = TY’.(4)

Подставив (1) и (3) в (4), получим:

TY’= ATX’, откуда:

Y’ = T-1ATX’. Сравнивая последнее равенство с (2) и используя определение равенства матриц, сможем написать выражение для матрицы рассматриваемого оператора в новом базисе B = T-1AT.

40. Какое подпространство линейного пространства называется инвариантным относительно линейного оператора?

Пусть в линейном пространстве R задан линейный оператор A. Подпространство R′ линейного пространства R называется инвариантным относительно оператора A, если для всякого вектора x из подпространства R′ следует, что вектор Ax так же принадлежит R′.

41. При каком условии вектор инвариантного подпространства оператора будет являться собственным вектором этого оператора?

Всякий (ненулевой) вектор, принадлежащий одномерному инвариантному подпространству, оператора A называется собственным вектором оператора A, то есть вектор x ≠ 0 называется

собственным вектором оператора A, если оператор A переводит вектор x в коллинеарный ему вектор: Ax = lx,

где число l называется собственным значением (собственным числом) оператора A, соответствующим собственному вектору x.

42. Как выглядит характеристическое уравнение оператора?

Пусть e1,..,en – базис n- мерного пространства Rn и A – некоторый линейных оператор. Допустим, что вектор х = ∑xkek есть собственный вектор оператора A, так что Ax = lx, где l – собственное значение, соответствующее собственному вектору x.

Mожем записать последнее равенство в координатной форме:

a ₁₁x₁+…+ a _1nx_n = lx₁,

a ₂₁x₁+…+ a _2nx_n = lx₂,

…

a _n1x₁+…+ a _nnx_n = lx_n,

где x1,…,xn – координаты вектора х в выбранном базисе, а аij – элементы матрицы А линейного оператора А в базисе е. систему можно записать в виде:

(a 11-l)x1+…+ a _1nx_n = 0,

a ₂₁x₁+…+ a _2nx_n = 0,

…

a _n1x₁+…+(a _nn - l)x_n = 0.

Т.к. искомый собственный вектор не нулевой, то среди его координат х1,…,xn должна быть хоть одна отличная от нуля, а это значит, что система должна иметь ненулевое решение. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Данное уравнение называется характеристическим уравнением оператора А.

 

43. Как вычисляются собственные вектора и собственные числа оператора в конечномерном пространстве?

Составляется характеристическое уравнение:

 

Находятся l. Подставив l в систему:

(a₁₁-l)x₁+…+a₁n_xn = 0,

a₂₁x₁+…+a_2nx_n = 0,

…

a_n1x₁+…+(a_nn - l)x_n = 0,

найдем координаты собственного вектора оператора. Если все n корней характеристического уравнения вещественны и различны, то можно найти n различных собственных векторов оператора А, подставляя последовательно все n корней в систему.

44. Каким свойством обладает матрица линейного оператора, характеристичес­кое уравнение которого имеет различных вещественных корней?

В n-мерном пространстве матрица всякого линейного оператора характеристическое уравнение которого имеет n различных вещественных корней, в базисе из его собственных векторов диагональна и ее диагональные элементы есть собственные значения оператора.

 

45. При выполнении какого условия, оператор называется симметричным?

Оператор A, действующий в евклидовом пространстве R, называется симметричным, если для любых векторов x и y пространства R имеет место равенство: (Ax,y) = (x,Ay).

Важно отметить, что в n-мерном евклидовом пространстве матрица A симметричного оператора в любом ортогональном нормированном базисе совпадает со своей транспонированной матрицей, то есть A есть симметричная матрица. Верно и обратное утверждение: каждый оператор Å, имеющий в некотором ортогональном и нормированном базисе симметричную матрицу, является симметричным оператором.

46. Каким свойством обладают собственные векторы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям?

Теорема. Собственные векторы симметричного оператора A, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть имеют место равенства

Ax1 = l1x1, (1)

Ax2 = l2x2,(2)

где l1 и l2 – собственные значения оператора А, причем l1<> l2.

Умножим равенство (1) скалярно на х2, а (2) на ч1 и вычтем второе из первого. Тогда можем написать

(Ах1,x2) – (Ax2,x1) = (l1 - l2)(x1,x2) (3)

Так как оператор A симметричный, то левая часть равенства (3) равна нулю, а это значит, что при l1<> l2 выполняется равенство (x1,x2) =0, что и требовалось доказать.

 

47. Сколько взаимно ортогональных собственных векторов имеет симметрич­ный оператор в n ‑;мерном евклидовом пространстве?

Теорема. Симметричный оператор A в n-мерном евклидовом пространстве R имеет n взаимно ортогональных собственных векторов.