Понятие характеристического уравнения. – Лукьянцев

 

Характеристическое уравнение

1) Х. у. матрицы — алгебраическое уравнение вида

определитель, стоящий в левой части Х.у., получается из определителя матрицы А = ||aik||n1 вычитанием величины λ из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn — т. н. след матрицы, S2 — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида i < k и т.д., а Sn — определитель матрицы А.

Корни Х. у. λ1, λ2,..., λn называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все λk действительны, у действительной кососимметричной матрицы все λk чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |λk| = 1.

2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

a₀λy (n) + a₁y (n-1) +... + a_n-1y' + a_ny = 0

— алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины λ, т. е. уравнение

a₀λ_n + a₁λ_n-1 +... + a_n-1 y' + a_ny = 0.

К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се^λх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений

Х. у. записывается при помощи определителя

Х. у. матрицы A =

 

63 Устойчивые линейные системы управления. – Мурсалимов