Метод Д-разбиения. – Ягудина

 

Метод Д-разбиения — способ построении области устойчивости линейной системы автоматического управления по некоторому параметру, т.е. определение границ допустимых изменений параметров, при которых система автоматического управления не теряет устойчивости.

Для линейной системы требуется определить диапазон изменения некоторого параметра k, в котором система сохраняет устойчивость. Дополнительно предполагается, что этот параметр входит в характеристический полином системы линейно. В качестве исследуемого параметра может выступать коэффициент усиления, постоянная времени, коэффициент полинома передаточной функции.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления (САУ):

ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0=0 (1)

Его можно записать в следующем виде:

D(s) = sn + cn sn -1 + cn-1s n-2 +... + c1= 0, (2)

где cn = an-1/an cn-1 = an-2/an...c1 = a0/an.

Очевидно, что для заданного набора коэффициентов cn,cn-1,...c1 характеристическое уравнение (2) имеет единственное решение, иными словами, набор корней (s1, s2,...,sn). В общем случае корни являются комплексными т.е. для i-того корня справедливо si=α+jβ. Более того, в силу вещественности коэффициентов cn,cn-1,...c1 этому корню соответствует комплексно-сопряженный корень si+1=α-jβ.

Известный метод оценки устойчивости по корням заключается в определении знака вещественной части корня si:

- если α>0, имеют место колебания с нарастающей амплитудой, т.е. движение неустойчиво;

- если α=0, получаем незатухающие колебания, т.е. система находится на границе устойчивости

- если α<0, амплитуда колебаний с течением времени уменьшается и колебания затухают.

В частном случае вещественного корня, т.е. при равенстве нулю коэффициента при мнимой части β=0 можно выделить:

- если α>0, движение апериодическое и неустойчивое;

- если α=0, движение нейтральное;

- если α<0, движение апериодическое и устойчивое;

Таким образом, корневое условие устойчивости динамической системы формулируется следующим образом:

если все вещественные части корней характеристического уравнения отрицательны, то динамическая система устойчива, если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива.

При изменении параметров САУ изменятся и коэффициенты характеристического полинома ci, а значит, и корни si. На практике используется Д-разбиение по одному (не очень интересно), либо по двум параметрам.

Правила штриховки следующие:

- Если особая прямая и кривая Д-разбиения сближаются асимптотически - штриховка особой прямой однократная, направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения.

- если особая прямая имеет общую точку с кривой Д-разбиения, но не пересекает ее - штриховка особой прямой однократная и около общей точки направлена к заштрихованной стороне Д-разбиения.

- если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения в двух точках - штриховка особой прямой двойная и направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения около той точки пересечения, в которой определитель меняет знак, около второй точки пересечения определитель знака не меняет и штриховку особой прямой не изменяют.

- если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения, но знак определителя не меняется - особую прямую не штрихуют.

После того, как кривая Д-разбиения и особые прямые построены, и на них нанесена штриховка, отыскивается область, внутрь которой направлена штриховка ее границ. Это область потенциальной устойчивости. С помощью любого критерия устойчивости проверяется, является ли система в какой-либо точке данной области устойчивой. Тогда рассматриваемая область принимается в качестве области устойчивости. Возможны случаи, когда области устойчивости отсутствуют.

Методом Д-разбиения плоскости по двум параметрам иногда можно выяснить влияние на устойчивость одного параметра, который входит в характеристическое уравнение нелинейным образом.

Область устойчивости, находящаяся в первом квадранте - рабочая область. Область устойчивости, находящаяся в третьем квадранте - область математически устойчивых решений (не рабочая).