Уравнения прямой на плоскости

Задача. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно ненулевому вектору

Точка принадлежит прямой векторы и перпендикулярны

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно ненулевому вектору имеет вид Здесь , так как вектор ненулевой.

Основная теорема теории прямой на плоскости. Геометрическое место точек плоскости, координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению есть прямая, параллельная вектору и проходящая через точку

Доказательство. Точка принадлежит прямой векторы и параллельны или в силу того, что , выполняется условие

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Частные случаи общего уравнения. При получим уравнение прямой, проходящей через начало координат.

При получим уравнение прямой, параллельной оси абсцисс

При получим ось абсцисс .

При получим уравнение прямой, параллельной оси ординат

При получим ось абсцисс

Пусть - другая точка прямой. Тогда Из уравнения и равенства получим уравнение прямой, проходящей через точки две данные точки, Если это точки и пересечения прямой с осями координат, то и получим уравнение прямой в отрезках

Ненулевой вектор, параллельный прямой, называется ее направляющим вектором. Пусть некоторый направляющий вектор данной прямой имеет координаты и Тогда уравнение (3) можно переписать в виде канонического уравнения прямой

Приравняв отношения к параметру получим параметрическое уравнение прямой на плоскости Предположим, что в общем уравнении Тогда Введем обозначения , Уравнение называется уравнением с угловым коэффициентом и начальной ординатой Если точка принадлежит прямой, то и после вычитания этого равенства из уравнения (5) получим уравнение прямой через угловой коэффициент и точку Если - другая точка прямой, то С другой стороны эта дробь равна тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, т. е. угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс Вернемся к самой первой задаче этого параграфа.

Задача. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно ненулевому вектору

Пусть - начало координат, а - произвольная точка плоскости. Вектор называется радиусом вектором точки Точка принадлежит заданной прямой когда векторы и перпендикулярны, т. е Обозначив число через , получим векторное уравнение прямой