Свойства криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда

2. Если C − объединение кривых C ₁ и C ₂ (рисунок 2 выше), то

3. Если кривая C задана параметрически в виде , то

4. Если кривая C лежит в плоскости O xy и задана уравнением (предполагается, что R = 0и t = x), то последняя формула записывается в виде

 

21 Формула Грина

Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру и двойным интегралом по области , ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в честь английского математика Джорджа Грина.

Формулировка

Пусть — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а — область, ограниченная кривой . Если функции , определены в области и имеют непрерывные частные производные , , то

На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая замкнута.

[править] Доказательство

— область, правильная в направлении , ограниченная замкнутой кривой

Пусть область — криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении ):

Для кривой , ограничивающей область зададим направление обхода по часовой стрелке.

Тогда:

Заметим, что оба полученных интеграла можно заменить криволинейными интегралами:

Интеграл по берётся со знаком «минус», так как согласно ориентации контура направление обхода данной части — от до .

Криволинейные интегралы по и будут равны нулю, так как :

Заменим в (1) интегралы согласно (2) и (3), а также прибавим (4) и (5), равные нулю и поэтому не влияющие на значение выражения:

Так как обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательным направлением, то сумма интегралов в правой части является криволинейным интегралом по замкнутой кривой в отрицательном направлении:

Аналогично доказывается формула:

если в качестве области взять область, правильную в направлении .

Складывая (6) и (7), получим: