Пересечение призмы с треугольникомРассмотрим решение задачи способом последовательного пересечения прямой с плоскостью (рис. 6), принимая грани призмы за плоскости общего положения, а стороны треугольника – за прямые общего положения. Решение начинается на фронтальной плоскости проекций. Через сторону треугольника АС проведем вспомогательную фронтально - проецирующую секущую плоскость a. Так как эта плоскость a перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций, то ее проекцией на плоскость p2 будет прямая a²1, совпадающая с фронтальной проекцией стороны треугольника А²С²;. Точки пересечения a²1 с ребрами F²F²;1, D²D²;1 и E²E²;1 обозначим соответственно 1², 2² и 3². Проведем из этих точек линии связи до пересечения с соответствующими ребрами на горизонтальной плоскости проекций (направление указано стрелками) и получим точки 1¢, 2¢ и 3¢. Соединив эти точки тонкой прямой линией, получим фигуру – треугольник 1¢-2¢-3¢. Эта фигура есть результат пересечения призмы фронтально - проецирующей плоскостью a1. Отметим одну особенность. На плоскости p2 мы не видим этот треугольник, т.к. его плоскость лежит в плоскости a²1, а она проецируется в линию; на горизонтальной плоскости проекций мы видим, что проекция этого треугольника пересекается со стороной А¢С¢; в двух точках М¢; и К¢;. Это и есть пересечение прямой АС с гранями призмы. Проведем линии связи из этих точек М¢; и К¢; на плоскость p2 и отметим на стороне А¢¢С¢¢; фронтальные проекции М¢¢ и К¢¢; (стрелки указывают направление на p2). Смысл таких построений следующий: точка М¢; лежит на линии 3¢ - 2¢, принадлежащей грани DD 1 E 1 E, следовательно, М¢; является точкой пересечения прямой АС с этой гранью, соответственно точка К¢; – результат пересечения этой же прямой с другой гранью E 1 EFF 1. Иными словами, прямая АС пронизывает призму в точке М¢; и выходит в точке К¢;. Считая призму непрозрачной линию М¢ - К¢; необходимо изобразить как невидимую (штриховой линией). Аналогично проводим вспомогательную секущую плоскость a²2 через ребро призмы D²D²;1 (a²2 перпендикулярна p2). Эта плоскость пересекает треугольник А ¢¢ В ¢¢ С ¢¢ по прямой, проходящей через точки 4¢¢ и 5¢¢. Точка 4¢¢ лежит на стороне А ² В ² (ее построение изложено ниже), а точка 5² – на стороне А ² С ². Проведя соответствующие линии связи до пересечения на горизонтальной плоскости с проекциями сторон призмы А ¢ В ¢ и А ¢ С ¢ получаем горизонтальные проекции точек 4¢ и 5¢, через которые проводим прямую 4¢ – 5¢. На горизонтальной плоскости проекций эта прямая пересекается с ребром D ¢ D ¢1 в точке P ¢. От этой точки проводим линию связи вверх до пересечения с ребром D ¢¢ D ¢¢1. Таким образом, ребро DD 1 пересекается с плоскостью треугольника АВС в точке P.
Рис. 6. Объединив результаты геометрических построений в одно целое, видим, что точки P и М принадлежат плоскости треугольника АВС, следовательно, линия P – М есть прямая, по которой пересекается грань DD 1 E 1 E с треугольником АВС. Аналогично, линия P – К является прямой, по которой треугольник АВС пересекается с гранью ЕЕ 1 F 1 F. Таким образом, треугольник P - M - K является результатом пересечения призмы с плоскостью. Все эти геометрические построения можно было выполнить, начиная с горизонтальной плоскости проекций, проведя горизонтально - проецирующие вспомогательные секущие плоскости. В некоторых вариантах задач сторона треугольника или ребро многогранника могут оказаться прямой частного положения. В рассмотренном примере (см. рис. 6) такой прямой является сторона треугольника АВ (профильная прямая уровня). На фронтальной плоскости проекций a¢¢2 пересекает А ¢¢ В ¢¢ в точке 4¢¢. Чтобы построить эту точку на горизонтальной плоскости проекций, используем теорему Фаллеса (отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций) (рис.7):
Рис. 7. Рис. 8.
Для этого на плоскости π1 (см. рис.6) в удобном месте чертежа строим треугольник А¢В¢В¢;0, помня о том, что точка 4¢¢ лежит ближе к точке В¢¢;, чем к точке А¢¢;. В этом треугольнике сторона А¢В¢;0 равна стороне А¢¢В¢¢;, и отрезок А ¢ - 4¢0 равен отрезку А¢¢ - 4. Проводим линию В¢;0 - В¢; и параллельно ей по стрелке линию 4¢0 - 4¢. На пересечении А¢В¢; с этой линией будет лежать точка 4¢, и она разделит сторону А¢В¢; в том же отношении, что и точка 4¢¢ на фронтальной плоскости проекций разделит сторону А¢¢В¢¢;. Аналогично можно построить точку 4¢¢ на π2, если секущая плоскость будет проведена через ребро D¢D¢;1 на горизонтальной плоскости проекций (рис 8).
|
