Показатели асимметрии и эксцесса

Коэффициент асимметрии показывает «скошенность» ряда распределения относительно центра:

 

, (6.68)

 

где – центральный момент третьего порядка;

– куб среднего квадратического отклонения.

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия)

Кроме центрального момента расчет асимметрия можно провести, используя моду или медиану:

 

либо , (6.69)

 

Для данного метода расчета: если , в распределении наблюдается правосторонняя (положительная асимметрия), если , в распределении наблюдается левосторонняя (отрицательная асимметрия) (рис. 4).

 

Рис. 4. Асимметричные распределения

 

Величина, показывающая «крутость» распределения, называется коэффициентом эксцесса:

 

, (6.70)

Если , в распределении наблюдается островершинность – эксцесс положительный, если , в распределении наблюдается плосковершинность – эксцесс отрицательный (рис. 5).

Рис. 5. Эксцессы распределения

 

Пример 5. Имеются данные о количестве овец по хозяйствам района (табл. 9).

Таблица 9

№	тыс.голов.	№	тыс.голов.	№	тыс.голов.
	2,0		3,0		5,5
	2,5		4,0		6,0
	2,5		5,5		6,5
	3,0		5,5		7,0

 

Рассчитать.

1. Среднее количество овец в расчете на одно хозяйство.

2. Моду.

3. Медиану.

4. Показатели вариации

· дисперсию;

· стандартное отклонение;

· коэффициент вариации.

5. Показатели асимметрии и эксцесса.

Решение.

1. Так как значение варианты в совокупности повторяется по несколько раз, с определенной частотой для расчета среднего значения используем формулу среднюю арифметическую взвешенную:

2. Данный ряд является дискретным, поэтому модой будет варианта с наибольшей частотой – .

3. Данный ряд является четным, в этом случае медиану для дискретного ряда находят по формуле:

То есть, половина хозяйств в исследуемой совокупности имеют количество овец до 4,75тыс.голов. а половина свыше данной численности.

4. Для расчета показателей вариации составим таблицу 10, в которой рассчитаем отклонения , квадраты данных отклонений , расчет можно провести как по простым, так и по взвешенным формулам расчета (в примере используем простую):

Таблица 10

№
	2,00	-2,42	5,84
	2,50	-1,92	3,67
	2,50	-1,92	3,67
	3,00	-1,42	2,01
	3,00	-1,42	2,01
	4,00	-0,42	0,17
	5,50	1,08	1,17
	5,50	1,08	1,17
	5,50	1,08	1,17
	6,00	1,58	2,51
	6,50	2,08	4,34
	7,00	2,58	6,67
Итого	53,00	0,00	34,42
В среднем	4,4167

Рассчитаем дисперсию:

Рассчитаем стандартное отклонение:

Рассчитаем коэффициент вариации:

 

5. Для расчета показателей асимметрии и эксцесса построим таблицу 11, в которой рассчитаем , ,

Таблица 11

№
	2,00	-2,42	-14,11	34,11
	2,50	-1,92	-7,04	13,50
	2,50	-1,92	-7,04	13,50
	3,00	-1,42	-2,84	4,03
	3,00	-1,42	-2,84	4,03
	4,00	-0,42	-0,07	0,03
	5,50	1,08	1,27	1,38
	5,50	1,08	1,27	1,38
	5,50	1,08	1,27	1,38
	6,00	1,58	3,97	6,28
	6,50	2,08	9,04	18,84
	7,00	2,58	17,24	44,53
Итого	53,00	0,00	0,11	142,98
В среднем	4,4167

Асимметрия распределения равна:

То есть, наблюдается левосторонняя асимметрия, так как , что подтверждается и при расчете по формуле:

В этом случае , что для данной формулы так же указывает на левостороннюю асимметрию

Эксцесс распределения равен:

В нашем случае эксцесс отрицательный, то есть наблюдается плосковершинность.

Пример 6. По хозяйству представлены данные о заработной плате работников (табл. 12)

Рассчитать моду и медиану.

Решение.

Для интервального вариационного ряда мода рассчитывается по формуле:

где модальный интервал – интервал с наибольшей частотой, в нашем случае 3600-3800, с частотой

- минимальная граница модального интервала (3600);

- величина модального интервала (200);

- частота интервала предшествующая модальному интервалу (25);

- частота следующего за модальным интервалом (29);

- частота модального интервала (68).

Таблица 12

Интервал по заработной плате, руб./чел.	Количество работников	Кумулятивная частота
3000-3200
3200-3400
3400-3600
3600-3800
3800-4000
Итого		-

 

Для интервального вариационного ряда медиана рассчитывается по формуле:

где медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот, в нашем примере это 3600-3800.

- минимальная граница медианного интервала (3600);

- величина медианного интервала (200);

- сумма частот ряда (154);

- сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному (57);

– частота медианного интервала (125).

Пример 7. По трем хозяйствам одного района имеются сведения о фондоемкости продукции (количество затрат основных фондов на 1руб. произведенной продукции): I – 1,29 руб., II – 1,32 руб., III – 1,27руб. Необходимо рассчитать среднюю фондоемкость.

Решение. Так как фондоемкость обратный показатель оборота капитала используем формулу среднюю гармоническую простую.

Пример 8. По трем хозяйствам одного района имеются данные о валовом сборе зерновых и средней урожайности (табл. 13).

Таблица 13

Хозяйство	Валовой сбор ц.	Урожайность ц/га.
I
II
III

Необходимо рассчитать среднюю урожайность по хозяйствам.

Решение. Расчет средней урожайности по средней арифметической невозможен, так как отсутствуют сведения о количестве посевных площадей , поэтому используем формулу средней гармонической взвешенной:

 

Пример 9. Имеются данные о средней урожайности картофеля на отдельных участках и количестве окучиваний (табл. 14)

Таблица 14

№ участка	число окучиваний	урожайность ц./га		№	число окучиваний	урожайность ц./га

Проведем группировку данных (табл. 15):

 

Таблица 15

Группировка участков по признаку «число прополок»

Количество прополок	Число участков	Урожайность, ц./га.	Групповая средняя
		63, 68, 69, 65, 67	66,4
		72, 74, 70, 74, 68, 72, 73	71,8571

1. Рассчитаем общую дисперсию выборки (табл. 16):

 

Таблица 16

№	Урожайность, ц./га
		-6,58333	43,3402
		-1,58333	2,5069
		2,41667	5,8403
		4,41667	19,5070
		0,41667	0,1736
		-0,58333	0,3403
		-4,58333	21,0069
		-1,58333	2,5069
		4,41667	19,5070
		-2,58333	6,6736
		2,41667	5,8403
		3,41667	11,6736
В среднем	69,58333
Итого		0,00000	138,9167

 

2. Рассчитаем дисперсию для каждой группы:

 

I. Группа с числом окучиваний - 1(табл. 17)

Таблица 17

№	Урожайность, ц./га.
		-3,40	11,56
		1,60	2,56
		2,60	6,76
		-1,40	1,96
		0,60	0,36
В среднем	66,4
Итого			23,20

II. Группа с числом окучиваний равным 2 (табл. 18)

 

 

Таблица 18.

№	Урожайность, ц./га.
		0,1429	0,02
		2,1429	4,59
		-1,8571	3,45
		2,1429	4,59
		-3,8571	14,88
		0,1429	0,02
		1,1429	1,31
В среднем	71,8571
Итого			28,86

 

3. Рассчитаем среднюю внутригрупповую дисперсию:

.

4. Найдем межгрупповую дисперсию. В соответствии с законом сложения дисперсии:

, отсюда

5. Рассчитаем корреляционное отношение:

.

То есть, фактор, положенный в основу группировки (число окучиваний) оказывает среднее влияние на результат (урожайность).