Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной

 

Пусть сток О₁ и источник О₂ равнодебитны, т.е. имеют одинаковые по модулю массовые дебиты G. Расстояние между источником и стоком равно 2а. Исследуем поток от источника к стоку.

Проведём ось 0 х через точки О₁ и О₂ таким образом, чтобы точка О₁ находилась от начала координат 0 на расстоянии а₁, а точка О₂ на расстоянии а₂ (рис. 4.3).

 

 

По формуле (4.2) определим потенциальную функцию потока. При этом учтем знаки дебитов: источник G ₁= - G, а сток G ₂= + G. После подстановки получим:

 

, 4.5

где r₁ и r₂ - расстояния любой точки пласта до стока и источника, соответственно.

Уравнение изобар (4.4) при этом будет иметь вид

4.6

и соответствует окружностям, центры которых расположены на оси 0х. Если поместим начало координат в центре какой-либо окружности семейства, то радиус данной окружности определится выражением

, 4.7

а коэффициент . 4.8

Подставляя С₁ в (4.7) найдем

. 4.9

Из (4.9) видно, что a₁ < R < a₂ или a₁ > R > a₂; следовательно, все окружности пересекают ось между стоком и источником, а значит, одна из особых точек находится внутри окружности данного радиуса R, другая - вне этой окружности. Точки О₁ и О₂, положения которых на прямой 0 х определяются равенством (4.7), называются взаимосимметричными относительно окружности радиуса R.

Допустим, что радиус R=¥;,т.е. берём ту эквипотенциальную линию, которая является прямой. Из (4.7) следует, что в этом случае С₁=1 и, как следует из (4.6), r₁=r₂. Последнее равенство означает, что в числе эквипотенциальных линий есть прямая 0у, которая делит расстояние между стоком и источником пополам и параллельна оси 0у (рис.4.3).

Итак, эквипотенциальные линии (изобары) при совместном действии одной эксплуатационной и одной нагнетательной скважин в неограниченном пласте представляют собой окружности, центры которых расположены на прямой, проходящей через центры скважин (рис.4.4).. Среди окружностей есть одна, имеющая бесконечно большой радиус - прямая, которая делит расстояние между скважинами и всю плоскость течения пополам. Половина всех окружностей конечного радиуса R расположена по одну сторону от этой прямой, остальные окружности - по другую.

 

Семейство линий тока ортогонально изобарам и, следовательно, в данном случае тоже окружности. Все линии тока проходят через сток и источник. Центры всех окружностей линий тока расположены на прямой, делящей расстояние между стоком и источником пополам (рис.4.4).

Массовый дебит эксплуатационной и нагнетательной скважин при их совместной деятельности определяется на основе соотношения (4.5), расписанного для каждой скважины при учете отношений радиусов (рис.4.3): на контуре эксплуатационной скважины - ; на контуре нагнетательной скважины - . Решая, полученную систему уравнений, имеем

. 4.10

Массовая скорость фильтрации в любой точке пласта М (рис.4.2) находится по правилу суперпозиции сложения векторов скорости от действия источника и стока

. 4.11

Величина корня есть расстояние между источником и стоком 2а и, следовательно, формула (4.11) перепишется в виде

4.12

Для поддержания пластового давления часто используется нагнетание воды в пласт. Определим для однородной несжимаемой жидкости время движения частицы по кратчайшему пути между нагнетательной и эксплуатационной скважинами, т.е. по оси 0х. При жестководонапорном режиме решается при этом вопрос о времени, протекшем от начала закачки воды в пласт до начала её прорыва в эксплуатационную скважину.

Чтобы решить указанную задачу выразим скорость в (4.12) через производную расстояния по времени и, поместив начало координат в сток О₁, проинтегрируем полученное уравнение по х от х₀ до х. Тогда время движения частицы от некоторой точки х₀ до точки х определится зависимостью

. 4.13

Время обводнения Т, т.е. прохождения частицы расстояния О₁О₂= 2а определится из (4.13), если принять х=0; х₀=2а

, 4.14

где m - пористость; Q - объёмный дебит.

Зная Т можно найти площадь обводнения w, приравнивая объёмы TQ и mhw. Откуда . 4.15

Анализ формул (4.13) и (4.14) показывает, что расстояние, пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной, вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время в положительном направлении оси х.