Бесконечное в философии математики И.Канта

Математические конструкции теории множеств, как бы стремящиеся “дотянуться” до Абсолютного, до Бога, забрасывающие в пучину трансфинитного “якоря” новых аксиом, с фанатичной надеждой на то, что это позволит зацепиться за что-то твердое, производят впечатление чего-то титанического, или, используя классический библейский образ, впечатление Вавилонской башни, возводимой уже чисто теоретическими средствами. Мы говорили уже о возрожденческом духе, веящим со страниц канторовских произведений, в том его особом воплощении конца XIX — начала XX веков, которое получило название модернизма. Здесь существенной была вера в науку, в торжество человеческого разума, способного решить все проблемы, преодолеть сопротивление любой иррациональности. Канторовские теоретико-множественные построения стоят в этом смысле в одном ряду с конструктивным пониманием живописи, архитектуры, поэзии, музыки, с утопиями социализма, евгеникой, и т.д.^[85]. Рационализм XVII—XVIII веков как бы переживал здесь свое новое рождение, однако в таких масштабах и с такой принудительностью, что приходится говорить о демоническом рационализме. Неслучайна была и связь Кантора с Лейбницем. Не только допущение Лейбницем существования актуальной бесконечности было объединяющим началом здесь, но и общая глубокая убежденность в мощи человеческого разума. Кантор хотел “рассыпать” в точки континуум, и с помощью теории множеств чисто формально “сложить” опять из этих точек все физические, химические и биологические структуры. Лейбниц следующим образом описывал перспективы применения своего универсального алгоритма, “универсальной характеристики”: “Я думаю, что несколько специально подобранных людей смогли бы завершить дело [построение всей системы естествознания! — В.К.] в пределах пяти лет; а учения более близкие к жизни, т.е. доктрину моральную и метафизическую, полученную посредством неопровержимого исчисления, они смогли бы представить в течение двух лет”^[86].

Неслучайным было и отталкивание Кантора от Канта. Кант был тем мыслителем, в котором новоевропейская наука начала осознавать свою специфику и, следовательно, свои границы. Научный позитивизм XIX века, с которым столь яростно сражался Кантор, во многом питался кантовскими интенциями. Математика, по Канту, строится на базе априорных форм человеческой чувственности: пространства и времени. Последние же характерно конечны, что пресекает возможность создания каких-либо трансфинитных объектов. Так число определяется Кантом в рамках его учения о схематизме рассудочных понятий. “Чистая же схема количества (quantitatis) как понятия рассудка, — пишет Кант, — есть число — представление, объединяющее последовательное прибавление единицы к единице (однородной). Число, таким образом, есть не что иное, как единство синтеза многообразного [содержания] однородного созерцания вообще, возникающее благодаря тому, что я произвожу само время в схватывании созерцания”^[87]. Кант явно пишет о невозможности бесконечного числа: “...Понятие числа (относящегося к категории целокупности) не всегда возможно там, где даны понятия множества и единства (например, в представлении бесконечного)”^[88].

При обсуждении так называемых антиномий чистого разума можно особенно наглядно убедиться, какую решающую роль играет конечность человеческих познавательных способностей у Канта. Так в доказательстве тезиса первой антиномии, точнее, положения о том, что мир ограничен в пространстве, Кант рассуждает следующим образом: “...Допустим опять противоположное утверждение, что мир есть бесконечное данное целое из одновременно существующих вещей. Но размер такого количества, которое не дается в определенных границах того или иного созерцания, мы можем представить себе не иначе как только посредством синтеза частей, и целокупность такого количества — только посредством законченного синтеза или посредством повторного прибавления единицы к самой себе”^[89]. Здесь Кант делает примечание: “Понятие целокупности обозначает в таком случае не что иное, как представление о законченном синтезе его частей. В самом деле, так как мы не можем вывести это понятие из (невозможного в этом случае) созерцания целого, то мы можем постичь это понятие, по крайней мере в идее, только посредством синтеза частей, продолжающегося до завершения бесконечного”^[90]. Другими словами, актуально бесконечное целое мира не может быть дано целиком, к нему можно только приближаться последовательно, “по конечным частям”. Но это бесконечное перечисление конечных частей требует бесконечного же и времени: “...пришлось бы рассматривать бесконечное время при перечислении всех сосуществующих вещей как прошедшее, что невозможно”^[91]. Кант допускает тем самым только потенциальную бесконечность. В Примечании к тезису этой антиномии он пишет: “Истинное (трансцендентальное) понятие бесконечности заключается в том, что последовательный синтез единицы при измерении количества никогда не может быть закончен”^[92]. Выражаясь канторовским языком, можно сказать, что Кант допускает только первый принцип образования чисел, т.е. переход от n к (п + 1), но не разрешает второй принцип, с помощью которого, в частности, Кантор делает переход от конечных чисел к W — первому трансфинитному числу. В девятом разделе Антиномий чистого разума, говоря о регулятивном применении космологических идей чистого разума, Кант высказывается еще осторожней: “...Я не могу сказать, что мир в отношении прошедшего времени или пространственно бесконечен. Такое понятие величины как данной бесконечности эмпирически ведь невозможно, стало быть, оно безусловно невозможно в отношении мира как предмета чувств. Я не могу также сказать, что регресс от данного восприятия ко всему тому, чем оно ограничивается в ряду в пространстве и в прошедшем времени, идет в бесконечность: такое утверждение предполагает бесконечную величину мира. Я не могу также утверждать, что этот регресс конечен, так как абсолютная граница также эмпирически невозможна. Таким образом, я ничего не могу сказать обо всем предмете опыта в целом (о чувственно воспринимаемом мире), а могу говорить только о правиле, по которому следует приобретать и продолжать опыт соответственно его предмету”^[93]. Эту ситуацию Кантор характеризует названием regressus in indefinitum (в отличии от regressus in infinitum). Все упирается в то, что математические истины, по Канту, должны быть показаны в созерцании (чистом), а бесконечное созерцание для человека невозможно.

Аналогично, обсуждая решение второй математической антиномии, где речь идет о делении целого на части (“сложной субстанции на простые части”), Кант опять опирается на то, что несмотря на стремление разума рассматривать это деление в терминах одних понятий, рассудок должен всегда помнить, что все опытно данное, дано ему необходимо в рамках априорных форм чувственности, т.е. пространства и времени. Но все данное как предмет в пространстве бесконечно делимо, так как делимо само пространство. “Всякое созерцаемое в своих границах пространство есть такое целое, части которого при всяком разложении в свою очередь все еще представляют собой пространства, и потому оно делимо до бесконечности”^[94]. Однако это деление или регресс от обусловленного к условиям, как выражается сам Кант, идет в этом случае не in indefinitum, a in infinitum. Причина этого в том, “что условия (части) содержатся в самом обусловленном и даны все вместе с ним, так как оно целиком дано в созерцании, заключенном в его границы”^[95]. Что же? Можно ли в этом случае сказать, что сложное представляет собой актуально бесконечное количество получающихся в результате деления частей? Этот вопрос напрямую связан с вопросом о структуре континуума. Если мы, например, имеем отрезок прямой, то можно ли на основе того, что отрезок можно последовательно сколь угодно делить на все более мелкие части, сказать, что он сложен из некого бесконечного множества точек? Хотя Кант и считает, что деление здесь (в отличие от положения в первой антиномии) идет in infinitum, тем не менее его ответ отрицательный: “...О целом, делимом до бесконечности, нельзя сказать, что оно состоит из бесконечного множества частей. В самом деле, хотя все части содержатся в содержании целого, однако в нем не содержится все деление, состоящее лишь в продолжающемся разложении или самом регрессе, который единственно и делает ряд действительным. Так как этот регресс бесконечен, то в данном целом, правда, содержатся как агрегаты все члены (части), до которых доходит регресс, однако не весь ряд деления, который последовательно бесконечен и никогда не есть целый ряд, следовательно, не может показывать бесконечного множества частей и собирания их в одно целое”^[96].

Кантовская математика есть существенно человеческое предприятие. Считать во времени и созерцать фигуры в пространстве может только человек. Богу не нужен счет и обусловленное временем созерцание: он видит все количества и структуры разом и непосредственно. Человек же в силу особенностей априорных форм своей чувственности неспособен созерцать бесконечное. Однако, поскольку у Канта вся конечность математики непосредственно связана с созерцанием, то, на первый взгляд, в высшей степени формальная современная математика, оперирующая постоянно с абстрактными аксиоматическими конструкциями, уже не подвластна тем ограничениям, о которых говорил создатель трансцендентальной философии. Аналогично и в современной физике: квантовая механика, теория относительности и современные теории элементарных частиц очень далеки от всякого непосредственного созерцания: предмет сегодняшней физики дается ученому опосредованным сложными теориями, в частности воплощенными в хитроумнейшей экспериментальной технике. Говорить об эмпирическом созерцании здесь уже невозможно. Но все-таки кантовские представления относительно чистого созерцания во многом остаются в силе. В частности, остается принципиальный вопрос, существенный для философского осмысления теории множеств: есть ли число, действительно, кантовский синтез однородной множественности во времени или же его можно мыслить как-то по-другому, не связывая со временем, например как некоторую платоновскую идею. Мы видели, что Кантор был сторонником именно последней точки зрения.