Аксиома выбора

Кантор страстно стремился доказать континуум-гипотезу. В случае, если бы это удалось сделать, была бы не только подтверждена эффективность методов новой теории множеств. Это доказательство служило бы оправданием и более принципиальной тезы: той философско-научной программы, сторонником которой считал себя Кантор. Тысячелетия континуум рассматривался как некая данность, как некое неразложимое далее a priori. Если бы удалось доказать континуум-гипотезу — или в ее исходной форме, или в более широкой, например,

2^Àо = Àn

для какого-нибудь натурального n, то тогда континуум, непрерывное было как бы отождествлено с некоторым вполне упорядоченным множеством, было бы, так сказать, сложено из точек. Напомним, что вполне упорядоченным множеством называют упорядоченное множество, каждое подмножество которого имеет наименьший элемент^[47]. Специальное выделение вполне упорядоченных множеств нужно было Кантору потому, что два вполне упорядоченных множества всегда можно сравнить между собой: отобразить одно на часть другого. Из этого следует сравнимость соответствующих этим множествам ординалов. А из последнего — и сравнимость соответствующих ординалам кардиналов, т.е. мощностей множеств. Значит, любые мощности — а значит, и мощность континуума, и алефы —сравнимы, если соответствующие им множества можно вполне упорядочить. Но как это сделать для конкретных множеств, вообще говоря, непонятно. В частности, одномерный континуум, например интервал действительных чисел (0; 1), взятых в их естественном упорядочении по величине, не является вполне упорядоченным множеством. Например, подмножество чисел <х< не имеет наименьшего элемента.

Множество рациональных чисел Q = в его естественном упорядочении по величине также не является вполне упорядоченным множеством. Но его можно упорядочить по-другому. Расположим все рациональные числа Q в следующую таблицу:

А теперь присвоим каждому рациональному числу номер, пересчитывая их “по диагоналям”: q₁ =, q₂ =, q₃ =, q₄ =, q₅ =, q₆ =,... Заметим, что некоторые элементы таблицы придется пропускать, так как они уже встречались раньше. Так q5 = = 3, а не, потому что 1 уже встречалась в нашем ряду. Теперь определяем новый порядок так: q_n < q_m, если n < m. В этом новом упорядочении Q уже будет вполне упорядоченным множеством. Это нетрудно показать: всякому подмножеству из Q теперь соответствует некоторое подмножество натуральных чисел N, а именно —множество номеров, соответствующих q. Но в любом множестве номеров есть наименьший^[48]. Тогда рациональное число с этим наименьшим номером и будет наименьшим в смысле нашего нового упорядочения.

В этом примере существенно то, что Q есть счетное множество, т.е. его можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с N. Таким же образом можно вполне упорядочить любое счетное множество. Но Кантор показал, что континуум есть несчетное множество. Поэтому для его упорядочения нужны были какие-то другие методы. Однако надежду на то, что множество всегда может быть вполне упорядочено, разделяли далеко не все. Так в 1903 г., когда теория множеств уже пользовалась достаточной популярностью, Б.Рассел заявлял: “Верно, Кантор считает законом мышления то, что всякое определенное множество может быть вполне упорядочено; однако я не вижу оснований для этого мнения”^[49].

Нетрудно в свете этого понять, каким ударом для Кантора был доклад математика из Будапешта Ж.Кенига на III Международном Конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 году. Кениг утверждал, чтомощность континуума не равна никакому алефу. И тем самым, в частности, подрывалась вера в молчаливо принятую Кантором предпосылку, что любое множество может быть вполне упорядочено. А от этой предпосылки зависела, как мы уже говорили, сравнимость ординалов и мощностей, т.е. существование той шкалы “бесконечных чисел”, которая как бы и аккумулировала в себе весь научный и философский пафос теории множеств.

Но уже в том же 1904 году ученик Кантора Э.Цермело предложил доказательство теоремы о том, что любое множество может быть вполне упорядочено. Дискуссия перешла в новую фазу. В результате этой дискуссии в теореме Цермело был обнаружен слабый пункт. Доказательство опиралось на следующее положение: дано некоторое, вообще говоря, бесконечное множество множеств; существует функция, ставящая в соответствие каждому множеству определенный элемент этого же множества. Или, проще говоря, в бесконечном множестве множеств можно осуществить процедуру выбора в каждом из этих множеств одного элемента. При всей, казалось бы, очевидности этого положения с ним соглашались далеко не все. Резко против выступили, в частности, французские математики: Э.Борель, Р.Бэр, А.Лебег. Сомнения вызывали в основном два момента. Во-первых, если речь идет о бесконечной последовательности выбора элементов, то сразу встает вопрос о том, как это реализовать во времени; если же предполагать все выборы совершающимися одновременно, то опять здесь нужна какая-то поясняющая конструкция. Во-вторых, выбор одного элемента из произвольного множества представляет собой действительную логическую проблему. Если элементы никак не упорядочены, — а именно такова ситуация в теореме Цермело, где еще только строят упорядочение, — то они как бы и неразличимы и выделить какой-то один не представляется возможным.

В силу принципиальной важности этого положения для теории множеств оно получило название Аксиомы выбора (или аксиомы Цермело) и вошло в число семи аксиом теории множеств, предложенных также Цермело в 1908 году. Довольно быстро было обнаружено, что аксиома Цермело применяется в доказательстве многих положений как теории множеств, так и анализа. Так простейшие теоремы теории множеств, например:

— объединение счетного числа не более чем счетных множеств само не более чем счетно, или:

— всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество, уже требуют применения аксиомы выбора. Что касается математического анализа, то Ф.А.Медведев, например, указывает в классическом курсе математического анализа Г.М.Фихтенгольца большое количество теорем, зависящих от аксиомы выбора, среди которых такие важные, как:

— Теорема о непрерывной функции, принимающей значения разных знаков на концах промежутка;

— Лемма Больцано — Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности;

— Теорема Коши о конечных приращениях;

— Теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и много других^[50].

Аксиома выбора формулируется достаточно просто и логически кажется довольно естественным и не обещающим неожиданностей утверждением. Однако это впечатление обманчиво, с помощью аксиомы выбора строятся такие экстравагантные примеры, как множество Витали^[51], неизмеримое, по Лебечу, или парадокс Банаха-Тарского. Дадим формулировку последнего: “Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар”^[52]. То есть мы имеем в качестве следствий из аксиомы выбора такие положения, которые совершенно противоречат нашей интуиции пространства.

Вследствие, в частности, и такого рода парадоксов, основанных на аксиоме Цермело, “диапазон мнений математиков об этой аксиоме скандально широк”, — как пишет Ф.А.Медведев^[53]. Д.Гильберт поддерживал использование аксиомы выбора в математике и считал, что она связана с фундаментальными логическими принципами математического мышления. А.Пуанкаре считал аксиому выбора одним из определяющих синтетических априорных суждений, которое невозможно доказать, но без которого трудно строить как конечную, так и бесконечную арифметику. Б.Рассел был более сдержан в оценке аксиомы: “Возможно, что она истинна, но это не очевидно, а ее следствия удивительны. При этих обстоятельствах мне кажется правильным воздержание от ее применений, за исключением тех рассуждений, которые дают надежду получить абсурд и таким образом дать отрицательное решение вопроса об истинности этой аксиомы”^[54]. Русский математик Н.Н.Лузин резко отрицательно относился к использованию аксиомы выбора: “...Применять свободный выбор — это значит, по моему мнению, жонглировать соединениями пустых слов, смыслу которых не соответствует никакой интуитивно доступный факт”; “...Против нее [против аксиомы выбора — В.К.] говорит именно эта самая чрезвычайная легкость ее применения, немедленность даваемых ею ответов, так как математические сущности, сформированные при помощи ее, не крепки, не обладают устойчивостью, имея слишком расплывчатые, неопределенные свойства, чтобы практически служить затем точкой опоры для математических рассуждений, направленных уже на классические математические предметы. Напротив, образование математического предмета без аксиомы Цермело часто представляет чрезвычайные трудности, зато такой математический предмет, будучи построен, почти всегда имеет большую ценность для дальнейших изысканий”^[55].

Благодаря работам Геделя (1939) и Коэна (1963) было установлено, что аксиома выбора не может быть ни доказана, ни опровергнута исходя из системы аксиом Цермело-Френкеля теории множеств. Сложилось тем самым положение, напоминающее ситуацию с пятым постулатом Евклида в геометрии. И как для последней независимость пятого постулата от других аксиом позволяла строить неевклидовы геометрии, так и в случае с аксиомой выбора — в силу ее независимости — были сделаны попытки построения нецермеловских теорий множеств (а на их основе — и всего здания математики) как без аксиомы выбора, так и с заменой ее на другую аксиому. В качестве примера последнего приведем формулировку аксиомы, альтернативной цермеловской, — так называемой аксиомы детерминированности: “Каждое множество А бесконечных последовательностей натуральных чисел определяет следующую бесконечную игру G_A двух игроков. Игрок I пишет натуральное число n_o, игрок II отвечает тем, что пишет натуральное число n₁, затем игрок I пишет n₂, игрок II пишет n₃, и т.д. Если получающаяся в результате игры последовательность n_o, n₁, n₂,... принадлежит множеству А, то выигравшим считается игрок I, в противном случае выигрывает игрок II. Игра G_A называется детерминированной, если выигрывающую стратегию имеет либо игрок I, либо игрок II. Аксиома детерминированности утверждает, что для каждого такого множества последовательностей А игра G_A является детерминированной^[56]. Оказывается, с помощью полного упорядочивания множества всех последовательностей натуральных чисел можно построить игру, которая не будет детерминированной. Значит, аксиома детерминированности противоречит аксиоме выбора (в ее общем виде). Но, с другой стороны, аксиома детерминированности влечет аксиому выбора в счетном варианте и поэтому основные теоремы теории действительных чисел не изменяются. В математике с аксиомой детерминированности каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу и либо не более чем счетно, либо имеет мощность континуума.

Тем самым споры вокруг аксиомы выбора привели к построению альтернативных канторовской теорий множеств. Сделать между ними выбор в пользу какой-то одной, “более естественной, не представляется возможным. Во всяком случае, изнутри математики... “Аргументированный выбор между аксиомой выбора и аксиомой детерминированности, — пишет Кановей, — возможен, вероятно, только путем сравнения красоты и богатства теорий, построенных на этих аксиомах, а также сравнения согласованности следствий АС [аксиомы выбора — В.К. ] и АD [аксиомы детерминированности — В.К.] со складывающейся математической интуицией”^[57].

3. Парадоксы. Шкала мощностей как “лестница на небо”

Мы помним, сколь свободным понимал Кантор математическое творчество. Математика в своем развитии не связана никакими внешними условиями. Сущность математики — свобода. Единственное внутреннее требование к математическим конструкциям — быть логически непротиворечивыми. Математик может в своей работе не заботиться ни о прикладном значении его теорий, ни об общефилософском. Теория должна быть лишь логически состоятельной — это необходимо и достаточно для того, чтобы она вошла в корпус математического знания. Выше мы видели, что собственное “поведение” Кантора в науке, в математике было парадоксальным образом прямо противоположное. Кантор все время в высшей степени обеспокоен согласованием выводов теории множеств с традициями естествознания, философии, богословия. Утверждение теории множеств как научной дисциплины, легализация ее новых — уместно применить затертое, но здесь как раз адекватное слово — революционных методов рассуждений было связано с изменением самой философии науки, философии познания. Мы видели, как сознательно относился Кантор к этому “внешнему” аспекту теории множеств и сколько было потрачено усилий на утверждение теории множеств и в общефилософском контексте. И тем не менее пафос свободы математического знания был основным философским постулатом канторовского творчества. Математика, в этом смысле, должна рассчитывать только на саму себя, на собственные внутренние методы самоконтроля: прежде всего на доказательство чисто логической состоятельности своих понятий и теорий. Должна рассчитывать и вполне может осуществить это — считал создатель теории множеств.

На фоне этих представлений понятно, какой неприятностью были для Кантора возникшие на почве самой теории множеств так называемые парадоксы. В 1897 году Бурали-Форти опубликовал первый из них. Речь в нем идет о множестве W всех порядковых чисел. Согласно конструкциям Кантора, это множество вполне упорядочено и, следовательно, оно должно иметь соответствующий порядковый тип b. Этот тип должен быть больше, чем все типы, содержащиеся в W. Однако, по условию W есть объединение всех порядковых типов, т.е. b тоже входит в W. И мы тем самым приходим к противоречию: b>b. Бурали-Форти делал из этого парадокса тот вывод, что канторовская теорема о сравнимости любых ординалов неверна. И тогда падало также утверждение и о сравнимости любых кардиналов (мощностей).

Еще более серьезным был парадокс Рассела, показывавший логические опасности, скрытые в наивном понимании множества. Анализируя канторовскую теорему о так называемом “множестве — степени”^[58], Рассел выделил понятие “множества, которое не является элементом самого себя”. Например, множество всех множеств не будет таким множеством, а множество натуральных чисел является множеством, не совпадающим ни с каким своим элементом. Если мы рассмотрим множество М всех множеств, не являющихся элементами самого себя, то мы не сможем ни отрицательно, ни утвердительно ответить на вопрос: будет ли оно само множеством того же типа, что и его элементы, т.е. множеством, не содержащим самого себя в качестве элемента. Если мы ответим утвердительно, отсюда следует, что М как содержащее все множества, не являющееся собственным элементом, должно содержать и себя, что противоречит предположению. Если же мы ответим отрицательно, т.е. М не является множеством, не содержащим себя в качестве элемента, тогда значит М содержит себя в качестве своего элемента, но все элементы М суть множества, не содержащие себя в качестве своего элемента, т.е. мы опять получаем противоречие. На основании подобных размышлений Рассел сформулировал определение предикативных и непредикативных свойств множеств. Только первые могут действительно определять множества; использование же вторых ведет к парадоксам. Эти наблюдения воплотились в дальнейшем в так называемую теорию типов, которую Рассел развивал совместно с Уайтхедом.

Нас, однако, интересует здесь позиция самого Кантора. К 1899 году он уже формулирует некое определение, чтобы уйти от парадоксов, связанных, так сказать, с “очень большими” множествами, вроде множества всех множеств и т.д. В переписке с Дедекиндом Кантор пишет: “Если мы исходим из понятия определенной множественности <Vielheit> (системы, совокупности) вещей, то мне представляется необходимым различать множественности двоякого рода (речь идет всегда об определенных множественностях). А именно, множественность может обладать тем свойством, что допущение “совместного бытия” всех ее элементов приводит к противоречию, так что эту множественность нельзя рассматривать как единство, как “некую завершенную вещь”. Такие множественности я называю абсолютно бесконечными или неконсистентными множественностями. Как легко убедиться, “совокупность всего мыслимого”, например, является подобной множественностью; далее появятся и другие примеры. Напротив, если совокупность элементов некоторой множественности можно без противоречия мыслить как совокупность “совместно существующих” элементов, так что возможно их объединение в “единую вещь”, то я называю ее консистентной совокупностью или “множеством” <Menge> (на французском и итальянском языках это понятие подходяще выражается словами “ensemble” и “insieme”)”^[59]. Как видим, по сравнению с исходными понятиями теории множеств все становится уже много сложнее. Прежде всего различаются множество (Menge) и множественность (Vielheit). Если всякое множество есть одновременно и множественность, то обратное уже неверно. Проблема состоит в том, что исходно Кантор понимал трансфинитное множество как актуально-бесконечное множество, мыслимое как целое, и считал это достаточно самоочевидным понятием. Теперь же оказывается, что есть множественности, которые невозможно без противоречия мыслить как целое. Но как же отличить одно от другого? То, что некоторые множества уже в своем определении несут противоречие, например “совокупность всего мыслимого”^[60], о которой говорит Кантор, или множество всех множеств, которые не являются собственным элементом, которые фигурируют в парадоксе Рассела, — это понятно и на основании этого их можно, положим, исключить из рассмотрения в теории множеств. Однако как доказать про другие, так сказать “обычные” и “легальные” актуально бесконечные множества, что их можно “без противоречия мыслить как совокупность совместно существующих элементов”, что возможно их объединение в “единую вещь”?... Кантор не дает на это ответа. А ведь это — принципиальный вопрос, лежащий в самом основании всей теории. Мы возвращаемся опять к самому ее фундаменту: а возможно ли вообще мыслить бесконечное как единую вещь? Существует ли хоть одна консистентная множественность?..

Дедекинд сразу почувствовал это и, вероятно^[61], в своем письме спросил о положительном критерии консистентности. Кантор отвечал формально и неубедительно: “...Можно поднять вопрос: откуда же я знаю, что вполне упорядоченные множественности или последовательности, которым я приписываю кардинальные числа

À_o, À₁,..., À_wo,..., À_w1,...

действительно являются “множествами, в объясненном смысле этого слова, т.е. “консистентными множественностями”? Нельзя ли вообразить, что неконсистентными окажутся уже эти множественности и что противоречивость предположения о “совместном бытии всех их элементов” осталась еще незамеченной? Мой ответ на это состоит в том, что указанный вопрос относится и к конечным множественностям и что точное размышление приводит к такому результату: даже для конечных множественностей нельзя осуществить “доказательство” их “консистентности”. Другими словами, факт “консистентности” конечных множественностей является простой недоказуемой истиной — это “аксиома арифметики” (в старом смысле слова). Равным образом, “консистентность” множественностей, которым я приписываю алефы в качестве кардинальных чисел, является “аксиомой обобщенной трансфинитной арифметики”^[62]. Мы уже встречались с подобным ходом мысли создателя теории множеств, когда говорили об интуитивной представимости чисел (конечных и бесконечных). И здесь мы можем повторить наши прежние аргументы. Консистентность конечных чисел мы можем отчасти “доказать”: малых чисел — рассматривая материальные множества, соответствующего количества, больших чисел — моделируя их на компьютере. И в последнем случае сегодня открываются многообещающие перспективы. Однако доказать консистентность любого, даже самого малого, актуально бесконечного множества, имеющего мощность À_o, не представляется никакой возможности. Принятие же этого существования за аксиому^[63] сразу делает всю теорию в высшей степени формальной. Все становится зыбким и гадательным...

Эта зыбкая трясина произвольных предположений, связанных с понятием консистентности, чувствуется и еще в одном моменте. Кантор говорит: “Речь идет всегда об определенных множественностях” (С. 35). Но, как оказывается, такая “определенная множественность” может оказаться и неконсистентной. Например, “совокупность всего мыслимого”. Но можно ли неконсистентную множественность считать определенной? Можно ли считать определенной “совокупность всего мыслимого”?.. Кантор явно так считает. Неконсистентные множественности можно даже сравнивать между собой: “Две эквивалентные совокупности или обе являются “множествами” или обе “неконсистентны””^[64]. С некоторыми неконсистентными множественностями, может быть, и можно установить эквивалентности, но как, например, осуществить это с “совокупностью всего мыслимого”? То есть здесь также требуются какие-то дальнейшие условия и подразделения. Можно, конечно, опять поступить формально и ввести некоторую аксиому. Однако, вводя аксиомы в область столь “неoпознанных объектов”, мы рискуем получить противоречивую систему. Противоречивость которой надо ведь тоже еще обнаружить и доказать...

Понятие неконсистентности нужно Кантору для положительных целей. А именно, система W всех ординальных чисел объявляется неконсистентной системой, т.е. ее нельзя рассматривать как единое целое. Иначе получается парадокс Бурали-Форти: если бы можно было рассматривать W как единое целое, то она имела бы порядковый тип d, откуда следовало бы, что d>d. Понятие неконсистентности спасает от парадокса Бурали-Форти и дает возможность существовать школе трансфинитных чисел W. Последняя должна для этого быть неконсистентной или абсолютно бесконечной множественностью, как называет ее по-другому Кантор. Аналогично обстоит дело и со шкалой мощностей (кардинальных чисел) или алефов. Последняя строится, исходя из шкалы W. Шкала эта есть последовательность

порядковых типов вполне упорядоченных множеств. Некоторые “интервалы” этой шкалы представляют множества одной и той же мощности. Например, если wo, есть порядковый тип счетного множества чисел

N = {0,1,2,...,n,...},

то ординальные типы

wo + 1, wo + 2, wo + 3,..., 2 wo,..., nwo,...

все соответствуют множествам также счетным, т.е. имеющим мощностью все то же первое трансфинитное кардинальное число Ào. Но существует первый порядковый тип w₁, который соответствует множеству уже большей мощности À₁. Все порядковые числа a такие, что

w₀ £a < w₁

Кантор обозначает Z (À). Аналогично рассматривается класс Z (À), порядковых чисел b, таких, что

w₁ £ b < w₂,

где w₂ — наименьшее порядковое число, которое соответствует множеству, кардинальное число которого отлично от À₀ и À₁. Это новое кардинальное число обозначаем через À₂ и т.д. Получается канторовская шкала мощностей, шкала алефов:

À₀, À₁,... À_w0, À_w+1..., À_w1,...

Кантор обозначает ее буквой t (“тау” — последняя буква древнееврейского алфавита). Поскольку индексы всех алефов представляют собой все элементы шкалы W, то шкала алефов подобна (в смысле теории множеств) шкале W, и так же, как последняя, представляет собой неконсистентную абсолютно бесконечную последовательность. Кантор задает вопрос: все ли кардинальные числа наличны в этой шкале? Или, другими словами, существует ли множество, мощность которого не является алефом? Ответ отрицательный в том смысле, что если взять множество V, которому не соответствует никакой алеф в качестве мощности, то тогда V должно быть неконсистентной множественностью. Кантор набрасывает и вариант доказательства, использующего неконсистентность W. Доказательство это, впрочем, неверно^[65]. И главная слабость его — в смутности понятия неконсистентного множества.

Утверждение о том, что система алефов представляет все возможные мощности, необходимо Кантору для того, чтобы утверждать сравнимость любых мощностей. Ведь все алефы сравнимы между собой и, если все кардиналы исчерпаны рядом, тогда можно утверждать, что для любых мощностей и имеет место только одно из трех соотношений:

>

<

=

Впрочем, в другом письме к Дедекинду Кантор признается, что доказательство это “косвенное”, и желательно было бы иметь более прямое ^[66], т.е. более конструктивное, связанное с конкретным построением соответствия элементов двух множеств.

Заключая рассуждение о шкалах W и Кантор пишет: “...Все множества “перечислимы” <abzahlbar> в некотором расширенном смысле, в частности “перечислимы” все “континуумы”^[67]. Эту “перечислимость” можно понимать двояко. Во-первых, эти множества все, так сказать, “каталогизированы” согласно своим мощностям, и про любые два из них известно, какое из них больше”. И, во-вторых, каждому кардиналу соответствует целый класс Z () порядковых чисел, представляющих собой символы всех возможных упорядочений данного множества мощности ^[68]. Другими словами, любое сколь угодно большое бесконечное множество может быть, так сказать, сложено из единиц с помощью трех канторовских принципов построения трансфинитных чисел: добавление единицы, взятие пределов и так называемого принципа ограничения^[69]. В частности, так должно получаться и множество, представляющее континуум, поскольку его мощность также находится в числе алефов^[70].

Итак, утверждая неконсистентность шкалы всех ординалов, Кантор получал и сравнимость всех мощностей, и доказательство континуум-гипотезы. Есть еще один аспект понятия неконсистентности, напрямую связанный с канторовскими философско-богословскими представлениями. На этот момент обращает внимание в своей книге о Канторе Дж.Даубен. Он задает вопрос: почему Кантора, в отличие от других (например, Бурали-Форти), не пугала и не отталкивала неконсистентность W? Даубен обращает внимание на то, что канторовское представление об Абсолюте как бесконечности Бога и неконсистентность W обладают сходными чертами^[71]. Говоря о божественной бесконечности, создатель теории множеств подчеркивал, что эта бесконечность неизменяема, ее нельзя ни увеличить, ни уменьшить. И следовательно, она математически неопределима^[72]. Но также неопределима и шкала трансфинитных чисел: добавление к ней невозможно в силу ее неконсистентности, отнятие же любого конечного отрезка не изменяет мощности больших трансфинитных чисел. Сам Кантор видел в шкале трансфинитных чисел некоторый символ вечности и приводил строку из стихотворения швейцарского натуралиста и поэта XVIII века Альбрехта фон Галера: “я его (чудовищно огромное число) отнимаю, а ты (вечность) лежишь целая передо мной”^[73]. Религиозно-мистические импликации были для Кантора устойчивым фоном его научной деятельности. Кантор понимал свою профессиональную деятельность одновременно и как выполнение определенной религиозной миссии — донести до человечества истину о трансфинитных числах, содержащихся в уме Бога. Даубен утверждает и нечто большее: “В конце концов, Кантор рассматривал трансфинитные числа как ведущие прямо к Абсолюту, к единственной “истинной бесконечности”, величину которой невозможно ни увеличить, ни уменьшить, а только представить как абсолютный максимум, непостижимый в пределах человеческого понимания”^[74]. Шкала трансфинитных чисел оказывается в этом смысле своеобразной лестницей на небо, лестницей, ведущей к самому Абсолюту...

Именно поэтому, считает Даубен, Кантора и не смущали появляющиеся парадоксы теории множеств. Ведь речь шла о божественной Истине, во всей полноте понятной только божественному Уму. Для человеческого же ума, пытающегося схватить эту божественную бесконечность, неизбежно было впадать в противоречия и антиномии...

Однако — спросим мы со своей стороны — как же быть тогда с основным канторовским критерием математики — логической непротиворечивостью? Если божественная Истина того порядка, что была открыта в теории множеств, неизбежно оборачивается для человеческого ума противоречием, тогда нужно или отказаться от непротиворечивости как необходимого момента нашего знания, — и тогда непонятно, как же конкретно мы будем строить науку, — или, может быть, отказаться от претензий на обладание этим знанием, неизбежно сопряженным с противоречиями, т.е. выбрать ту позицию, которая традиционно была господствующей в европейской науке и философии от их античного истока до XIX века включительно. Но и в последнем случае остается вопрос о том, как проводить эту границу между человеческими и сверхчеловеческим в знании. Должна ли она проходить по разделу: конечное — бесконечное, или же в сферу доступного человеческому разуму должно входить и какое-то “не очень большое” бесконечное^[75]? И если все-таки Кантор прав, в том смысле, что “к нашей конечной природе прилипло много от бесконечного”^[76], то от чего зависит, сколько прилипло? Ведь сама история науки показывает, что для разных людей степень постижения бесконечности, — пусть, например, в форме теории множеств, — степень уверенности в адекватности этого знания, этого направления науки различны. Естественно напрашивающийся ответ на этот вопрос, в духе канторовского понимания религиозной стороны теории множеств, следующий. Поскольку постижение бесконечности есть постижение Божественной бесконечности, то оно есть, следовательно, познание Бога, приближение к Нему, вхождение в божественный Разум. Поэтому степень понимания есть степень близости к Богу. Именно степенью близости отдельного человеческого ума к Богу измеряется здесь возможность понимания.

Близость же человеческого ума к божественному Логосу понимается на Западе и на Востоке (т.е. в христианских культурах, генетически связанных с Византией) по-разному. На Востоке “вхождение в Разум Истины” рассматривается обычно как невозможное без глубокой духовной трансформации всего человека. Разум мыслится здесь не как отдельная способность, а как способность, существенно определенная уровнем духовной жизни человека, его верой. Поэтому высоты гносиса доступны только нравственно чистым и благочестивым людям. Кантор же принадлежал к другой традиции. Из средневековой схоластики вырастает представление о самосущности человеческого разума, о его независимости от веры и духовной жизни. Согласно этому представлению, разум в богословии только используется, так же, как он может использоваться и в секулярной науке; сам же он автономен от веры и сущностно не изменяем. Из этого представления об автономном разуме и рождается постепенно секулярная философия и наука.

Отзвуки этого ясно слышатся в канторовском пафосе свободы математики, независимости ее от других сфер познания и культуры. Что означает эта независимость? Она означает, что, вообще говоря, познание есть дело чисто цеховое, дело профессионалов и мастеров и не требует для себя всего человека, не зависит от духовной и нравственной жизни человека. Несмотря на множество канторовских рассуждений о зависимости науки от метафизики и теологии^[77], тем не менее утверждение свободы математики было для Кантора очень неслучайным. Именно через математику он надеялся обрести наиболее глубинный гнозис. Ведь именно исходя из математики, из теории множеств дает он критику традиционного богословского понимания Библии^[78]. Лицемерил ли Кантор в переписке с богословами, подтверждая зависимость науки от теологии? Конечно, нет. Но это были лишь убеждения ума; а наклонности сердца были глубже, сильнее и противоречивее...

Научное познание всегда символично. Наука работает не с самим предметом познания, а с его схемой, его символом. Не исключение здесь и математика. Об этом, как мы помним, говорил и сам Кантор^[79]. Уже большие числа мы не способны “представить” непосредственно и вынуждены прибегать к разного рода символам. Таким символом является, например, запись числа в какой-то (например, десятичной) системе счисления. Тем более трансфинитные канторовские числа есть лишь символы некоторых подразумеваемых реальностей: различных типов бесконечности. Символическое познание всегда неадекватно. Ведь мы берем в качестве знаков обычно нечто близкое и понятное нам и должны с помощью него выразить нечто иное, как правило, более отдаленное и сложное. В этом смысле канторовская полная шкала трансфинитных чисел, эта “лестница на небо”, лестница от человеческого ума к божественному Логосу представляет собой титаническую попытку чисто символически исчерпать бесконечность Абсолютного, бесконечность Бога. Выразить высшее через низшее...

Трудно все-таки представить, что Кантор, занимаясь построением своей математической теории, действительно претендовал на адекватное познание Божества (пусть и, так сказать, одностороннее или, если угодно, “количественное”). Однако сохранившиеся документы говорят именно об этом. Так, освободившись в очередной раз из психиатрической клиники в Галле в 1908 году, Кантор написал письмо своему английскому корреспонденту математику Г.Ч.Янгу. В этом письме он говорит, в частности, о невозможности существования некого высшего трансфинитного числа, Genus supremum^[80], точнее, о совершенно особом способе его существования: “Я никогда не исходил из какого-либо “Genus supremum” актуальной бесконечности. Совсем наоборот, я строго доказал абсолютное несуществование “Genus supremum” для актуальной бесконечности. То, что превосходит все конечное и трансфинитное, не есть “Genus”; это есть единственное, в высшей степени индивидуальное единство, в которое включено все, которое включает “Абсолютное”, непостижимое для человеческого понимания. Это есть “Actus Purissimus”^[81], которое многими называется Богом”^[82]. Шкала возрастающих трансфинитных чисел, как считал Кантор, как раз и ведет к этому Actus Purissimus, Высшему Бытию, на “профаном” языке называемому Богом^[83]...

Вместе с тем потерпела крушение одна из основных интенций теории множеств. Кантор с самого начала стремился преодолеть потенциальность роста, “дурную бесконечность” потенциальной бесконечности, стремился утвердить рассмотрение бесконечного как актуальной данности. Но, в конце концов, это оказалось в принципе невозможным. “Теория множеств, — писал чешский математик П.Вопенка, — усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалось неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу”^[84].