Оценки игры

Рассмотрим матричную игру, представленную матри­цей выигрышей m×n, где число строк i = , а число столбцов j = (см. табл. 4.1). Применим принцип получения максимального гаран­тированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять страте­гию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантирован­ный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе своей чис­той стратегии, отвечающей этим условиям, он должен выбрать гаранти­рованный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша a_ij, которое обозначим

Чтобы этот гарантированный результат в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех а, выбрать наибольшее значение. Обо­значим его а и назовем чистой нижней ценой игры (максимин):

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матицы, которой соответствует элемент α. Какие бы стратегии ни применял иг­рок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал себе выиг­рыш, не меньший чем α;. Таково оптимальное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждой j-й чистой страте­гии он отыскивает величину своего максимального проигрыша:

в каждом j -м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 применит j -ю чистую стратегию. Из всех своих nj -х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит мини­мальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры (минимакс):

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выиг­рыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, – выигрыш, не меньший, чем α. Игрок 2 за счет указанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выиг­рыш, больший, чем β.

Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом пла­тежной матрицы, в котором находится элемент β; (см. табл. 4.1). Это оптимальная чистая гарантирующая стратегия игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры – цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают:

В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.