Правило неявного дифференцирования

Рассмотрим пример.

Пример 4.5. Пусть функция задана неявным образом .

Вычислить .

Решение. Продифференцируем обе части уравнения по переменной .

Получаем уравнение, которое неявным образом задаёт производную функции

(4.1)

Отсюда находим

(4.2)

Из формулы (4.2) видно, что при неявном дифференцировании производная зависит и от аргумента и от значения функции .

Вычисляем вторую производную. По определению вторая производная это производная от первой производной (1.5).

При неявном дифференцировании для вычисления второй производной необходимо

знать уравнение, которому удовлетворяет первая производная. В нашем случае это

уравнение (4.1):

Применяя правило неявного дифференцирования, получаем

Получаем уравнение для вычисления (4.3)

Отсюда находим : .

Замечание. При неявном дифференцировании вторая производная зависит от аргумента , от функции и её производной .

Пример 4.6. Найти уравнение касательной и нормальной прямой в точке к линии заданной уравнением .

Решение. Пусть переменная будет аргументом функции . В данном случае функция задана неявным образом. Уравнения касательной и нормали в точке касания имеют вид

(4.4)

и

(4.5)

соответственно.

Как видно из этих уравнений нам потребуется значение производной функции в точке касания. Применяя правило неявного дифференцирования, вычисляем производную в точке

Отсюда выписываем уравнение для определения производной

и вычисляем . Поэтому

Подставляя вычисленные значения в уравнение касательной (4.4), получаем

. Подставляя вычисленные значения в уравнение нормали (4.5),

получаем .

Параметрические задания кривых.

Существует ещё один способ задания кривых, при котором координаты

считаются равноправными: это задание кривых параметрическими уравнениями.

Координаты являются функциями некоторого параметра (скажем, времени)

(4.6)

Параметр обычно изменяется в каком-нибудь интервале .

Пример 4.7. Определить уравнения кривых заданных параметрическими уравнениями

Решение. Анализируем первую систему уравнений. Возводим оба уравнения системы 1) в квадрат и, складывая, получаем . Данная кривая это окружность единичного радиуса: . Аналогично для системы 2) получаем . Это уравнение прямой линии .

Если при параметрическом задании функции считать переменную функцией, а переменную аргументом то возникает вопрос каким образом вычислить производную функции по аргументу . Для этого существует правило

параметрического дифференцирования. Причем производная также записывается

в параметрическом виде.

Теорема 4.1. Пусть функция задана в параметрическом виде

Тогда её производная по аргументу записывается в параметрическом виде формулами

(4.7)

Обозначим для простоты записи , тогда формулу (4.7) можно переписать

в виде (4.8)

Поскольку вторая производная есть производная от первой производной, то применяя правило параметрического дифференцирования к параметрической записи первой производной (4.8) получаем параметрическую запись второй производной

(4.9)