Решение. В отличие от рассмотренных ранее примеров, данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень

В отличие от рассмотренных ранее примеров, данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того чтобы «избавиться от радикала», надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб:

.

После преобразований получаем:

Отсюда x ₁ = 0, x _2,3 = 2.

 

Диофантово уравнение, или уравнение в целых числах – это уравнение с целыми коэффициентами и неизвестными, которые могут принимать только целые значения.

Общий вид линейного диофантова уравнения:

ax + by + … + cz = d.

В литературе под диофантовыми уравнениями понимаются также уравнения более частного вида (с двумя неизвестными):

ax + by = c.

В диофантовом анализе широко используется уравнение Пелля (John Pell), которое имеет вид ax ² + 1 = y ², где a – натуральное число. Уравнение Пелля имеет бесконечно много решений в целых числах x и y, если только a – не квадрат, т. е. – иррациональное число (если же a – квадрат, то уравнение Пелля не решается в целых числах). Это уравнение изучалось У. Броункером (W. Brouncker), П. Ферма (P. Fermat) и Дж. Валлисом (J. Wallis). Л. Эйлер (L. Euler) по недоразумению связал его с именем Дж. Пелля (J. Pell), математика, жившего в XVII в. и занимавшегося теорией чисел. Уравнение Пелля было известно ещё древним грекам и индийцам.

[kgl].

 

[gl] Тема 5. Численное методы решения уравнений. Метод дихотомии (бисекции). Схема алгоритма [:]

 

Во многих практически важных случаях, когда уравнение имеет сложный вид, аналитически его точное решение найти не удаётся. Отсутствуют методы решения в общем виде алгебраических уравнений высоких степеней. Для трансцендентных урав­нений точное решение можно найти в немногих самых простых случаях.

Если решение нельзя найти в явном виде, то для отыскания корня используют другие методы. Например, приближенное решение можно получить методом последовательных приближений. Сравнительно легко корни уравнения определяются графически – достаточно лишь для уравнения f (x) = 0 построить график функции y = f (x) и найти точки пересечения кривой осью абсцисс, в которых эта функция равна нулю. Наконец, корень уравнения можно попытаться определить «методом подбора».

Однако ни один из перечисленных подходов нельзя считать достаточно эффективным при решении инженерных и научных задач на PC. Более предпочтительны способы, обеспечивающие одновременно как оперативность получения результата, так и высокую точность.

Второе важное требование к методу – универсальность, т. е. способность находить решения для разных видов уравнений. В особенности эти требования должны соблюдаться в специальных пакетах программ, предназначенных для выполнения боль­шого объёма расчётов, например в системах автоматизированного проектирования (САПР).

В связи с этим для решения нелинейных уравнений на PC широко применяются специальные методы, которые относятся к методам вычислительной математики. На их основе создано большое число алгоритмов, различающихся сложностью и эффективностью.

Когда говорят о методах решения нелинейных уравнений на PC, то подразумевают в первую очередь итерационные методы. Главным признаком итерационного метода является многократное повторение одного и того же набора действий для получения результата.

В основе итерационного метода лежит итерационная, т. е. повторяемая процедура. Процедура эта строится таким образом, что после каждого её выполнения производится очередное приближение к корню. Можно сказать, что итерационный метод несколько напоминает отыскание корня подбором, однако этот подбор производится не наугад, а по вполне определённому алгоритму.

При решении практических задач обычно приходится проводить предварительное исследование уравнения до его решения. Дело в том, что если уравнение не удаётся решить аналитически, то заранее трудно определить, сколько оно имеет корней и какова их природа – сколько из них комплексных или вещественных, сколько отрицательных или положительных. Поиск корней наугад без предварительного исследования чреват тем, что правильный ответ так и не будет найден. Кроме того, зачастую некоторые корни не имеют физического смысла, и поэтому нет необходимости определять их точные значения.

Однако в ходе предварительного исследования уравнения можно, не вычисляя точных значений всех корней, сразу выбрать из них те, которые представляют наибольший интерес.

Примерное положение корней уравнения f (х) = 0 на числовой оси легко определить, построив график функции y = f (x). Точки пересечения кривой y = f (x) с осью абсцисс, где y = 0, и будут соответствовать искомым корням.

Построенный график позволяет провести отделение указанных корней, т. е. найти на оси x границы отрезков, в каждом из которых располагается не более одного корня.

Решение многих практических задач сводится к решению уравнений

f (х) = 0, (5.1)

где функция f (х) определена и непрерывна на некотором интервале.

Если функция f (х) представляет собой многочлен, то уравнение (5.1) называется алгебраическим. Если в функцию f (х) входят трансцендентные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т. д.) функции, то уравнение (5.1) называется трансцендентным.

Для решения алгебраических уравнений любой степени и трансцендентных уравнений разработаны численные методы.

Пример 5.1. Отделить корень уравнения cos x = 2 x.

Решение

Построим графики функций y = cos x и y = 2x.

Из рис. 5.1 видно, что уравнение имеет единственный корень, принадлежащий отрезку [0; 1]. Когда находится отрезок, внутри которого расположен корень, то этот этап решения называется этапом отделения корня.

 

2π

π

–π

y = 2 x

y = cos x

x

y

 

Рисунок 5.1 – Графики функций y = cos x и y = 2x

Если непрерывная функция f (х) на отрезке [ a; b ] строго монотонна и имеет на концах отрезка разные знаки, то на этом отрезке существует (и, причём единственный) корень уравнения f (х) = 0.

Действительно, функция f (x) = 2 x – cos x в гочках x = 0 и x = 1 имеет разные знаки и возрастает на отрезке [0; 1]

f (0) = (2 · 0 – cos 0) = 0 – 1 = –1 < 0;

f (1) = (2 · 1 – cos 1) ≈ 2 – (0.54030) ≈ 1.4596977 > 0.

Действительно, если f (a) < 0, f (b) > 0 (или наоборот), то непрерывная функция f (x) обязательно хотя бы один раз пересекает ось абсцисс, а иногда несколько раз.

Отделение корней осуществляют либо графически, либо на основании аналитических исследований, либо сочетают оба этих способа

Пример 5.2. Отделить корни уравнения x ³ + 2 x – 1 = 0.

Решение

В данном случае f (x) = x ³ + 2 x – 1, f ′(х) = 3 x ² + 2. Поскольку f ′(х) > 0 при всех x, то функция f (x) возрастает в промежутке (– ∞, + ∞). Корень считается отдельным, если указан конечный промежуток (a; b), на котором он находится. Методом проб находим отрезок [ a; b], для которого f (а) ∙ f (b) < 0, т. е. на концах отрезка функция f (x) принимает значения разных знаков. Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях аргумента:

Так как f (1)· f (0) > 0, то на отрезке [–1; 0] корня нет; поскольку f (–1)· f (0) > 0, то корень находится на отрезке [0; 1].

Для уточнения корней используют несколько различных методов:

a)деления отрезка пополам;

b) хорд;

c)касательных.