Неявное и параметрические задания функций и их дифференцирование. Революция в обработке изображений реального мира произошла с выходом в 1977 году книги Б

Революция в обработке изображений реального мира произошла с выходом в 1977 году книги Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». Фрак­тал - это структура, обладающая схожими формами разных размеров. Такие структуры могут имитироваться с помощью рекурсивных функций. Фракталы не зависят от разрешения устройства. Это масштабированные картинки, которые можно описать небольшим конечным набором инструкций с помощью компью­терной программы.

Процесс сжатия изображения состоит из следующих этапов.

1. Разделение изображения на неперекрывающиеся области (домены). Набор доменов должен перекрывать все изображение полностью.

2. Задание набора ранговых областей изображения. Ранговые области могут пере­крываться. Они не должны обязательно закрывать всю поверхность картинки.

3. Фрактальное преобразование. Для каждого домена подбирается такая ран­говая область, которая после аффинного преобразования наиболее точно аппроксимирует домен. Подобное преобразование не только сжимает и дефор­мирует изображение ранговой области, но и изменяет яркость и контраст.

4. Сжатие и сохранение параметров аффинного преобразования. Файл со сжа­тым изображением содержит две части: заголовок, включающий в себя ин­формацию о расположении доменов и ранговых областей, и эффективно упа­кованную таблицу аффинных коэффициентов для каждого домена.

 

Этапы восстановления изображения такие.

1. Создание двух изображений одинакового размера, А и Б. Их размер может быть не равен размеру исходного изображения. Начальный рисунок областей А и Б не имеет значения. Это могут быть случайные данные, белое или черное.

2. Преобразование данных из области А в область Б. Для этого сначала изобра­жение Б делится на домены так же, как и на первой стадии процесса сжатия (расположение доменов описано в заголовке файла). Теперь для каждого домена области Б проводится соответствующее аффинное преобразование ранговых областей изображения А, описанное коэффициентами из сжатого файла, и результат помещается в область Б. На этой стадии создается совершенно новое изображение.

3. Преобразование данных из области Б в область А. Этот шаг идентичен преды­дущему, только изображения Б и А поменялись местами, то есть теперь раз­деляется на блоки область А и на эти блоки отображаются ранговые области изображения Б.

4. Многократно повторяются второй и третий шаги процедуры восстановления данных до тех пор, пока изображения А и Б не станут неразличимыми.

Обманчиво простой процесс попеременного отображения двух изображений друг на друга приводит к созданию репродукции исходной картинки. Точность соответствия зависит от точности аффинного преобразования, коэффициенты ко­торого вычисляются в процессе сжатия.

Алгоритмы сжатия и восстановления информации используют целочисленную арифметику и специальные методы уменьшения накапливающихся ошибок ок­ругления. В отличие от распространенных в настоящее время методов сжатия/восстановления графических изображений, фрактальное преобразование асим­метрично: процесс восстановления нельзя провести путем простой инверсии про­цедуры сжатия. Сжатие требует гораздо большего количества вычислений, чем восстановление.

В процессе фрактального преобразования получается набор цифр, который в очень сжатой форме описывает изображение. Достигаемый при этом большой коэффициент сжатия позволяет хранить и передавать высококачественные изображения. При высоком разрешении исходного изображения фрактальное отображение гораздо более эффективно с точки зрения снижения объема сжатой информации.

Глава 4.

Тема3.

Неявное и параметрические задания функций и их дифференцирование.

Пример 3.1. Рассмотрим две функции . Эти же две функции можно задать одним алгебраическим уравнением, а именно . (3.1) Действительно. Решим это квадратное уравнение относительно неизвестной .

Имеем . Откуда получаем .

Перейдём к точным формулировкам.

Определение 3.1. Если функция задана формулой, то говорят, что функция задана явным образом.

Пусть . Значение такой функции легко вычислить. Нужно заданное значение аргумента подставить в формулу и сосчитать полученное выражение. Например .

Определение 3.2. Если функция является решением некоторого уравнения, то говорят о неявном задании функции. Координаты считаются равноправными. Это означает, что можно считать одну из этих переменных функцией, а другую аргументом. Вся сложность при неявном задании функции заключается в вычислении значения функции при заданном значении её аргумента.

Пример 3.2. Так уравнение определяет функцию . Решая это уравнение относительно , получаем

 

Рассмотрим графическую иллюстрацию для данного случая. Уравнение задаёт окружность рис.1.

 

 

рис.1

Решение задает нам функцию, график которой приведен на рис.2а.

Решение задает нам функцию, график которой приведен на рис.2б.

рис.2а рис.2б

Таким образом, данное уравнение задаёт нам две различных явно заданных функции. Как конкретизировать функцию при её неявном задании. Очень просто нужна дополнительная информация.

Пример 3.3. Уравнение с дополнительным условием «все значения функции больше нуля» задает нам единственную функцию

Уравнение с дополнительным условием «все значения функции меньше нуля» задает нам единственную функцию

При неявном задании функции нужно заранее определить какая из двух переменных является аргументом, а какая функцией.

Например, если считать в уравнении переменную аргументом, а переменную функцией, то уравнение задаёт две функции

Графики данных функций изображены на рис.3.

рис.3а. рис.3б.

 

Если к уравнению добавить условие «при значение », то

получим только одно явное выражение для функции: (см. рис.3а).