Правила записи приближенных чисел

Термин «информационные технологии» (ИТ) связан с двумя понятиями: информация и технология.

Технология определяется как совокупность знаний о способах и средствах осуществления процессов, при которых происходит качественное изменение объекта.

Технология - это совокупность процессов, приемов обработки или переработки материалов, применяемых в каком-либо деле, мастерстве, искусстве, а также научное описание способов производства, совокупность знаний о способах и средствах осуществления процессов, при которых происходит качественное изменение объекта.

Информация - любые сведения, передаваемые: от человека к человеку, от человека к автоматическому устройству, от одного автоматического устройства к другому, от одной клетки живого вещества к другой, от одного организма к другому, от одной организации к другой и т. п.

Информационная технология - сочетание процедур, реализующих функции сбора, получения, накопления, хранения, обработки, анализа и передачи информации в организационной структуре с использованием средств вычислительной техники, или, иными словами, совокупность процессов циркуляции и переработки информации и описание этих процессов.

Целью ИТ является качественное формирование и использование информационных ресурсов в соответствии с потребностями пользователя.

Методами ИТ являются методы обработки данных.

В качестве средств ИТ выступают математические, технические, программные, информационные, аппаратные и др. средства.

Информационная технология базируется и зависит от технического, программного, информационного, методического и организационного обеспечения/

Техническое обеспечение - это персональный компьютер, оргтехника, линии связи, оборудование сетей. Вид информационной технологии, зависящий от технической оснащенности (ручной, автоматизированный, удаленный) влияет на сбор, обработку и передачу информации.

Программное обеспечение, находящееся в прямой зависимости от технического и информационного обеспечения, реализует функции накопления, обработки, анализа, хранения, интерфейса с компьютером.

Информационное обеспечение - совокупность данных, представленных в определенной форме для компьютерной обработки.

Организационное и методическое обеспечение представляют собой комплекс мероприятий, направленных на функционирование компьютера и программного обеспечения для получения искомого результата.

ИТ разделяются на две большие группы:

- с избирательной интерактивностью - обеспечивают хранение информации в структурированном виде

- с полной интерактивностью. ИТ - с полной интерактивностью содержит технологии, обеспечивающие прямой доступ к информации, хранящейся в информационных сетях или каких-либо носителях, что позволяет передавать, изменять и дополнять ее.

Перспективы развития и масштабы использования информационных технологий:

- приоритет информационного продукта над средствами его создания и доведения до конечного пользователя;

- способность к взаимодействию – совместимость информационных технологий, обеспечивающая идеальный обмен информационными продуктами;

- ликвидация промежуточных звеньев – посредников в передаче информации, ускорение процессов обмена информационными сообщениями, устранение помех и искажений;

- глобализация – экспансия информационных технологий во все сферы человеческой деятельности, формирование мирового информационного рынка, устойчивый рост потребления информационных продуктов и услуг, связанных с профессиональной, общественной деятельностью, образованием, бытом, досугом и развлечениями;

(1-2-1/3) Применение численных методов для решения задач на ЭВМ. Погрешность результатов численного решения задач на ЭВМ (запись чисел в ЭВМ; абсолютная и относительная погрешность, формы записи данных; вычислительная погрешность; погрешность функции, обратная задача

Реальные инженерные и физические задачи во всех областях науки и техники обычно решаются посредством использования двух подходов:

– физического эксперимента;

– предварительного анализа конструкций, схем, явлений с целью выбора каких-то их оптимальных параметров.

Первый подход связан с большими и не всегда оправданными затратами материальных и временных ресурсов.

Второй подход связан с математическим моделированием, в основе которого заложены знания фундаментальных законов природы и построение на их основе математических моделей для произвольных технических и научных задач.

Математические модели представляют собой упрощенное описание исследуемого явления с помощью математических символов и операций над ними. Математические модели разрабатываются с соблюдением корректности и адекватности по отношению к реальным процессам, но, как правило, с учетом простоты их технической реализации.

При математическом моделировании важным моментом является первоначальная математическая постановка задачи. Она предполагает описание математической модели и указания цели ее исследования. Для одной и той же математической модели могут быть сформулированы и решены различные математические задачи.

Обобщенную схему математического моделирования можно представить следующим образом:

На рассмотренных выше этапах математического моделирования имеют место следующие источники погрешностей:

1) погрешность математической модели;

2) погрешность исходных данных (неустранимая погрешность):

3) погрешность численного метода;

4) вычислительная погрешность.

Погрешность математической модели возникает из-за стремления обеспечить сравнительную простоту ее технической реализации и доступности исследования. Нужно иметь в виду, что конкретная математическая модель (ММ), прекрасно работающая в одних условиях, может быть совершенно неприменима в других. С точки зрения потребителя, важным является правильная оценка области ее (ММ) применения.

Погрешность численного метода (погрешность аппроксимации), связана, например, с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вычислении функций, с интерполированием табличных значений функциональных зависимостей и т.п.

Вычислительная погрешность возникает из-за округления чисел, промежуточных и окончательных результатов счета. Она зависит от правил и необходимости округления, а также от алгоритмов численного решения.

К точным числам относятся числа, которые дают истинное значение исследуемой величины. К приближенным относятся числа, близкие к истинному значению, причем степень близости и определяется погрешностью вычислений.

Результатами вычислений являются, как правило, только приближенные числа. Поэтому для указания области неопределенности результата вводятся некоторые специальные понятия, широко используемые при подготовке исходных данных или (и) оценке погрешности численных решений.

Если х – точное, вообще говоря, неизвестное значение некоторой величины, а а – его приближение, то разность х – а называется ошибкой, или погрешностью приближения. Часто знак ошибки х – а неизвестен, поэтому используется так называемая абсолютная погрешность D(Х) приближенного числа а, определяемая равенством

D(Х) = | х – а |

откуда имеем

х = а ± D(Х).

(1-2-2/3)

Изучаемая числовая величина х именованная, т.е. определяется в соответствующих единицах измерения, например, в сантиметрах, килограммах и т.п. Погрешность (1) имеет ту же размерность.

Однако часто возникает необходимость заменить эту погрешность безразмерной величиной – относительной погрешностью. При этом из-за незнания точного значения изучаемой величины принято называть относительной погрешностью величину

δ(X) = δ(X)/|a|=|(x-a))/a|

Относительную погрешность часто выражают в процентах:

δ(X) = δ(X)*100%/|a|

Это погрешность на единицу измеряемой физической величины. Она сопоставима в идентичных экспериментах, т.е. характеризует качество измерения. А именно, точность результата лучше характеризуется его d(Х), так как абсолютная погрешность D(Х) не достаточна, к примеру, для характеристики качества измерения двух стержней l 1 = 100,8 см ± 0,1 см и l 2 = 5,2 см ± 0,1 см. Очевидно, что качество измерения первого значительно выше.

Для практических целей вводится понятие предельной погрешности. Предельная абсолютная погрешность D а – это верхняя оценка модуля абсолютной погрешности числа х, т.е.

|D х | £ D a.

При произвольном выборе, D а всегда стремятся каким-либо образом взять наименьшим.

Истинное значение числа х будет находиться в интервале с границами (а – D а) – с недостатком и (а + D а) – с избытком, т.е.

(а – D а) £ х £ (а + D а).

Условились для приближенных чисел по результатам округлений в качестве D а принимать единицу или 1/2 единицы оставленного разряда числа. Первое условие называют погрешностью в «широком» смысле, второе в «узком» смысле.

Пример для второго условия:

а	51,7	–0,0031		16,00
D а	0,05	0,00005	0,5	0,005

Предельная относительная погрешность также может выражаться в процентах. При локальных ручных расчетах, и на этапе подготовки исходных данных существуют определенные правила оценки предельных погрешностей для арифметических операций:

;

;

D(а ± D b) = D а + D b;

D(а× b) = a× b [ d(а)+ d(b)] = b D а + a D b;

;

;

где

D – предельная абсолютная погрешность;

d – относительная предельная погрешность;

m – рациональное число.

Следует отметить, что приведенные оценки погрешностей приближенных чисел справедливы, если в записи этих чисел все «значащие» цифры «верны». Определение этих понятий рассмотрим ниже.

(1-2-3/3)

Правила записи приближенных чисел

Запись

х = ±a n 10 n + a n– 110 n – приближенных чисел должна подчиняться правилам, связанным с понятиями верных значащих цифр.

Любое десятичное число

х = ±a n a n– 1... a1 a0 a–1 a–2... a– m

представимо в виде

1 +... a110 + a0 + a–110–1 + a–210–2 +... + a– m 10 –m,

где a i – цифры числа, 10 i – их позиция (± i).

Рассмотрим пример:

1358,7604 = 1×103 + 3×102 + 5×10 + 8 + 7×10–1 + 6×10–2 + 0×10–3 + 4×10–4.

Первая слева отличная от нуля цифра числа х и все расположенные справа от нее цифры называются значащими, т.е. числа 25,047 и –0,00250 имеют соответственно 5 и 3 значащих цифр. Последнее число может быть записано –2,50×10-3.

Значащая цифра a i называется верной (в узком смысле), если абсолютная погрешность числа не превосходит 1/2 единицы разряда, соответствующего этой цифре, т.е. D а £ 1/2×10 i, где 10 i указывает номер разряда (± i).

Пусть х * = 12,396 (х * приближение х) и известно D х * = 0,03. Согласно определению здесь:

D х * > 1/2×10–3; D х * > 1/2×10–2 и D х * < 1/2×10–1.

Значит, верными знаками будут 1, 2, 3, а 9 и 6 сомнительные.

Пусть х * = 0,037862 и D х * = 0,07. Здесь D х * > 1/2×10–1. Значит все значащие цифры сомнительные.

Если число записано с указанием его абсолютной погрешности

S = 20,7428; D S = 0,0926,

то число верных знаков можно отсчитывать от первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной погрешности. Здесь верные цифры 2, 0, 7.

Существуют определенные соглашения при оперировании понятиями верных значащих цифр.

1) Если число имеет лишь верные цифры, то и его округление имеет также только верные цифры.

2) Совпадение приближенного значения, имеющего все верные значащие цифры, с точным значением не обязательно.

3) Абсолютные и относительные погрешности числа принято округлять в большую сторону, так как при округлениях границы неопределенности числа, как правило, увеличиваются.

4) При изменении формы записи числа количество значащих цифр не должно меняться, т.е. необходимо соблюдать равносильность преобразований/

5) При вычислениях желательно сохранять такое количество значащих цифр, чтобы их число не превышало числа верных цифр более чем на одну – две единицы.

6) Верные значащие цифры числа характеризуют ориентировочно относительную погрешность по схеме: одна верная цифра 10%, две – 1%, три – 0,1% и т.д. Верные значащие цифры после запятой характеризуют абсолютную погрешность или в «узком» или в «широком» смысле.

Нормализованная форма числа. Приближенные числа принято записывать таким образом, чтобы все цифры числа, кроме нулей впереди, если они есть, были значащими и верными цифрами.

Обычную форму записи числа, рассмотренную выше, называют записью с фиксированной точкой, а числа 0,63750×106; 637,50×103 и 6,3750×105 записаны в форме с плавающей точкой. Запись числа с плавающей точкой, как следует из примера, не является однозначной. Для устранения этой неоднозначности принято первый множитель брать меньше единицы, и он должен состоять только из значащих цифр (кроме нуля целых), т.е. первая цифра после запятой всегда отлична от нуля.

Такая форма записи числа называется нормализованной. В данном примере ею является запись 0,63750×106, а для числа -0,00384 нормализованная форма –0,384×10–2.

Итак, запись числа х в нормализованной форме имеет вид

х = х 0×10 р; где 0,1 £ | х 0 | < 1.

Число х 0 называется мантиссой числа х, а число р – его порядком. Например, для числа 620 = 0,620×103 мантиссой является 0,620, а порядком – число 3. Заметим, что в этой записи все цифры после запятой верные.

(1-6-1/3) Численное решение систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса; метод итераций)

 

 

(1-6-2/3)

 

(1-6-3/3)

(1-1-2/2)

- конвергенция – стирание различий между информационным производством и обслуживанием, информационным продуктом и обеспечивающими средствами, использованием в быту и для деловых целей, между режимами работы и каналами передачи информации;

- интеграция – объединение возможностей аналоговых и цифровых информационных технологий за счет массового перевода информационной техники на цифровую элементную базу;

- интеллектуализация – разработка и внедрение интеллектуальных информационных технологий, поддерживающих решение слабо формализованных задач, обеспечивающих моделирование социально-экономических, производственных, психологических, биологических и иных процессов;

- расширение номенклатуры автоматизированных информационных технологий, электронных ресурсов и удельного веса их использования в профессиональной и непрофессиональной информационной деятельности;

- модернизация технической базы информационных технологий, например, создание, оптических суперЭВМ, нейрокомпьютерных вычислительных устройств и систем, базирующихся на голографических принципах хранения информации, запоминающихся устройств высокой емкости, миниатюризация элементной базы информационной техники за счет развития молекулярной электроники и т. п.

К перспективным на обозримое будущее информационным технологиям специалисты относят:

- технологии создания и эксплуатации полнотекстовых баз данных, электронных библиотек, электронных архивов;

- технологии оцифровки информационных ресурсов – перевод информации в цифровую форму и запись ее на воспринимаемые компьютерами носители;

- технологии, адаптированные к потребностям массового пользователя автоматизированных информационных ресурсов;

- интегральные технологии, обеспечивающие возможность одновременного использования текстов, графики, телевизионных изображений, мультипликации, музыки и речи;

- сетевые информационные технологии, обеспечивающие интеграцию и кооперированное использование распределенных информационных ресурсов путем телекоммуникационного доступа к ним удаленных пользователей. Реализация принципа однократного ввода общественно значимой информации и многократного и многоцелевого ее использования дает эффект экономии всех видов затрат на информационные процессы;

- интеллектуальные информационные технологии, моделирующие процессы мыслительной, творческой деятельности человека

(1-3-1/4) Интерполирование функций (многочленами Лагранжа; интерполяционная формула Ньютона; интерполяция кубическими сплайнами).

(1-3-2/4)

(1-4-1/4) Приближение функций (метод наименьших квадратов; линейная регрессия; нелинейная регрессия; полиномиальная аппроксимация; дискретное преобразование Фурье)

Линейная регрессия является наиболее простой, но, тем не менее, используется чаще любого другого вида регрессии. Она заключается в нахождении таких значений параметров a и b, чтобы прямая y = a+bx наилучшим образом аппроксимировала заданной набор точек. Для проведения линейной регрессии по методу наименьших квадратов в MathCad существует функция line(vx,vy). Результатом функции line будет вектор, содержащий значения параметров a и b для построения регрессионной прямой.

На рис.9 для анализа эффективности линейной регрессии построена псевдоэкспериментальная последовательность точек. Для этого к точным значениям линейной функции прибавлены случайные числа, сгенерированные с помощью функции rnorm.Затем проведена линейная регрессия полученного набора точек. Ее результат можно сравнить с исходной прямой. Как видно из рис., параметры регрессионной прямой заметно отличаются от исходных, но на графике обе прямые проходят достаточно близко. Для линейной регрессии в MathCad реализован также метод медиан с помощью функции medfit(vx,vy). Результатом этой функции является вектор, аналогичный результату line. Нельзя утверждать,
(1-4-2/4)

что один из двух методов регрессии более точен. Метод наименьших квадратов является наиболее универсальным, поэтому функция line считается в MathCad основной функцией для проведения линейной регрессии.

Нелинейные регрессионные модели — модели вида

которые не могут быть представлены в виде скалярного произведения

где — параметры регрессионной модели, — свободная переменная из пространства , — зависимая переменная, — случайная величина и — функция из некоторого заданного множества.

В программных пакетах для инженерных вычислений, таких как MatLab, Mathcad и прочих имеется возможность выполнения регрессии с приближением к функции общего вида в виде весовой суммы функций .

Второй вид нелинейной регрессии реализуется путем подбора параметров к заданной функции аппроксимации с использованием функции, обеспечивающей минимальную среднеквадратическую погрешность приближения функции регрессии к входным данным (векторы Х и Y координат и отсчетов).

Типовые функции регрессии. Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций регрессии, в которых параметры функций подбираются программой самостоятельно.

Как можно видеть из сопоставления методов по среднеквадратическим приближения к базовой кривой и к исходным данным, известность функции математического ожидания для статистических данных с ее использованием в качестве базовой для функции регрессии дает возможность с более

(1-4-4/4)

 

(1-4-3/4)

высокой точностью определять параметры регрессии в целом по всей совокупности данных, хотя при этом кривая регрессии не отражает локальных особенностей фактических отсчетов данной реализации. Это имеет место и для всех других методов с заданием функций регрессии.

 

(1-3-4/4)

(1-3-3/4)

(1-5-1/6) Численные методы дифференцирования и интегрирования (конечно-разностные аппроксимации производных; использование интерполяционного многочлена Лагранжа для численного дифференцирования; квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона для численного интегрирования)

(1-5-2/6)

(1-5-3/6)

(1-14-1/1) Статистическое моделирование нелинейных систем со случайными характеристиками в условиях помех. Метод Монте-Карло

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей широко используется метод статистических испытаний, который базируется на использовании случайных чисел.

Метод статистических испытаний – это метод решения невероятностной проблемы вероятностным способом.

Суть метода в том, что процесс описывают формулами и логическими выражениями на ЭВМ. Затем в модель вводят случайно изменяющиеся факторы и оценивают их влияние на показатели процесса. Результаты оценки подвергают статической обработке.

При традиционном подходе строят аналитическую зависимость Y=φ(X), по которой рассчитывают площадь фигуры. На этом прямоугольнике в случайном порядке разбрасывают точки. Затем оценивают, какая доля всех точек попала внутрь фигуры. Эта доля соответствует доле площади фигуры от рассчитанной площади прямоугольника. Чем больше точек, тем точнее можно определить площадь фигуры.

Метод статистических испытаний, как первый и широко распространившийся метод имитационного моделирования, часто вообще считают единственным методом имитации систем. Динамику системы описывают на универсальном языке программирования в виде последовательности уравнений с детерминированными –Х и случайными ~X(Δt) коэффициентами. Время моделирования разбивают на одинаковые шаги Δt.

На каждом шаге Δ t изменяют значения случайных коэффициентов ~ X (Δ t), для которых по уравнениям рассчитывают изменения выходной величины ~ Y (Δ t). Каждый эксперимент представляет собой расчет уравнений с шагом Δ t. В результате выявляют связь выходных величин с входными величинами.

Поскольку шаг времени Δ t выбирают для самого быстрого элемента системы, то в результате моделирования получают много ненужной информации для шагов, когда никаких изменений этого элемента в системе не происходит. Кроме того, разработка имитационной модели на универсальном языке программирования требует специальной квалификации и часто остается без изменений в системе.

Существуют две области применения метода статистического моделирования:

- для изучения стохастических систем;

- для решения детерминированных задач.

(1-17-1/1).Классификация математических моделей и методов. Математические схемы, применяемые для моделирования систем.

Математическая модель – это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта.

Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. При построении математической модели системы необходимо решить вопрос об ее полноте. Полнота модели регулируется, в основном, выбором границы «система S – среда Е». Также должна быть решена задача упрощения модели, которая помогает выделить в зависимости от цели моделирования основные свойства системы, отбросив второстепенные. При переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды применяют математическую схему как звено в цепочке «описательная модель – математическая схема – математическая (аналитическая или (и) имитационная) модель».

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого математического аппарата. В ней можно выделить следующие их разновидности:

- математические модели с сосредоточенными параметрами. Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математической стороны - это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

- математические модели с распределенными параметрами. Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелинейные.

- математические модели, основанные на экстремальных принципах.

В качестве основного принципа классификации математических моделей часто используют области их применения. При таком подходе выделяются следующие области применения:

- физические процессы;

- технические приложения, в том числе управляемые системы, искусственный интеллект;

- жизненные процессы;

- большие системы, связанные с взаимодействием людей;

- гуманитарные науки.

Виды математических моделей:

- детерминированные и вероятностные,

- теоретические и экспериментальные факторные;

- линейные и нелинейные,

- динамические и статические;

- непрерывные и дискретные,

- функциональные и структурные.

По форме представления математических моделей различают:

- инвариантную,

- алгоритмическую,

- аналитическую

- графическую модели объекта проектирования.

(1-5-6/6)

(1-5-5/6)

(1-5-4/6)

(1-7-1/3) Численное решение нелинейных уравнений (метод простой итерации для решения нелинейных уравнений; метод Ньютона; решение систем нелинейных уравнений: решение обыкновенных дифференциальных уравнений)

 

 

(1-7-2/3)

 

 

(1-7-3/3)

(1-18-1/1)Модели квалиметрии (квалиметрия технологических смесей – применение математического программирования; спектральная компьютерная квалиметрия – две базовые проблемы спектральной компьютерной квалиметрии).

Все методы, применяемые в квалиметрии, можно разделить на две группы: дифференциальные и комплексные.

Дифференциальные методы применяются при оценке главного качества.

Главное качество — качество, отождествляемое с каким-то одним определяющим, доминирующим свойством, характеризующим потребительную стоимость данного продукта труда, при условии абстрагирования от всех остальных его свойств. Выбор такого свойства должен быть обусловлен и подкреплен достаточно длительной и устойчивой практикой его применения именно как синонима качества этого продукта труда. Например, по отношению к бетону главным качеством может являться прочность, для топлива — калорийность; для наручных часов — средний суточный ход (точность).

Дифференциальная оценка качества является необходимым этапом любых комплексных оценок.

Комплексная оценка качества может быть рассмотрена как двухэтапный процесс:

- первый — оценка простых свойств;

- второй — оценка сложных свойств, вплоть до качества в целом.

(1-8-1/5) Численные методы оптимизации (глобальная, локальная и безусловная оптимизация; оптимальное и рациональное решения; поиск минимума функции одной переменной; поиск минимума функции многих переменных, методы спуска)

Оптимизация — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ^*, который доставляет минимальное значение f(χ^*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации, необходимо задать:

Допустимое множество — множество

Целевую функцию — отображение ;

Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу означает одно из:

Показать, что .

Показать, что целевая функция не ограничена снизу.

Найти .

Если , то найти .

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.

Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:

Локальные методы: сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом/минимумом.

Глобальные методы: имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

- детерминированные;

- случайные (стохастические);

- комбинированные.

По критерию размерности допустимого множества, методы оптимизации делят на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:

Задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями, разрешаются так называемыми методами линейного программирования.

 

(1-8-2/5)

В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:

если и — выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;

если , то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.

По требованиям к гладкости и наличию у целевой функции частных производных, их также можно разделить на:

прямые методы, требующие только вычислений целевой функции в точках приближений;

методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;

методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Таккера);

численные методы;

графические методы.