Спектр биполярного П-образного сигнала

 

В качестве примера применения ряда Фурье рассмотрим частотный спектр биполярного П-образного сигнала (меандра), представленного на рис. 2.2. При показанном на рисунке выборе начала отсчета времени функция E (t) в интервале (– T / 2, T / 2) определяется следующим образом

 

 

Рис. 2.2

 

При t = 0 эта функция имеет разрыв первого рода. Следовательно, условия Дирихле выполняются. Поскольку функция E (t) является четной, то ряд Фурье будет содержать только косинусоиды с коэффициентами

 

.

Следовательно, при нечетном m и A_m = 0 при четном m. Как видим, при B_m = 0 коэффициенты A_m совпадают с амплитудами С_m соответствующих гармоник. Ряд Фурье в этом случае запишется в виде

 

,

где w ₁ – основная частота, а 3 w ₁, 5 w ₁, 7 w ₁, … – частоты гармоник.

Амплитуды основной гармонической составляющей и гармоник более высокого порядка равны , , , …, Как видим, амплитуды гармоник быстро убывают с ростом номера m.

 

 

Рис. 2.3

 

Как и следовало ожидать, спектр рассматриваемого периодического процесса является линейчатым, состоящим из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам w ₁, 3 w ₁, 5 w ₁, 7 w ₁ и т.д.; длины линий равны амплитудам гармоник и т.д. Заметим, что амплитуды гармоник убывают пропорционально Спектр рассматриваемого сигнала показан на рис. 2.4.

 

 

Рис. 2.4

 

Если начало отсчета времени сместить вправо (в положительном направлении по оси времени t) на величину T / 4, как показано на рис.2.3, то функция E (t) в интервале (– T / 2, T / 2) определится в виде

 

 

Эта функция становится нечетной, и ряд Фурье в этом случае будет содержать только синусоиды, причем, как и выше, коэффициент A ₀ = 0, а коэффициенты

 

 

Так как , то все B_m = 0 при четном m и равны при нечетном m. Ряд Фурье будет иметь вид

 

.

Видим, что в обоих случаях частоты гармоник и соответствующие им амплитуды одинаковы, спектр не зависит от положения начала отсчета времени. Если в разложении ограничиться только основной и двумя следующим гармониками, то точность такого представления функции E (t) составит примерно 91%.

 

[1] Отрицательной частоте в геометрическом представлении гармонических колебаний формально можно поставить в соответствие вращение вектора E в направлении, противоположном соответствующем положительной частоте, т.е. по часовой стрелке.