Коэффициентами

 

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно записать в виде где - общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а Y - частное решение данного неоднородного уравнения.

Функция Y может быть найдена методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

1) , где многочлен степени .

Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде , где многочлен степени с неизвестными коэффициентами.

Если - корень характеристического уравнения кратности

, то .

2)

Если не является корнем характеристического уравнения, то полагают ,

где многочлены степени .

Если корни характеристического уравнения кратности (для уравнений второго порядка ), то полагают .

Функцию, находящуюся в правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, имеющую вид

принято называть специальной правой частью.

 

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, .

Правая часть уравнения равна . Следовательно, , и поскольку не является корнем характеристического уравнения, то . Поэтому частное решение ищем в виде .

Дифференцируя Y два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей последнего равенства, находим:

 

Отсюда . Значит, общее решение данного уравнения имеет вид

.

 

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решениe. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни (кратность корня ). Следовательно, .

Правая часть уравнения имеет вид . Тогда . Так как совпадает с корнем кратности , то частное решение ищем в виде .

Дифференцируя Y два раза, подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты, получим: .

Общее решение данного уравнения имеет вид