Теоретический материал.

Задания для контрольной работы

15.1 – 15.10. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

15.5.

15.6.

15.7.

15.8.

15.9.

15.10.

 

Варианты контрольной работы

1. Даны два вектора и . Найти угол между ними и площадь треугольника построенного на этих векторах как на составляющих. Определить высоту треугольника, опущенную на сторону . Будут ли коллинеарны векторы и ?

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

2. Доказать, что векторы некомпланарны. Найти разложение по векторам .

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

3. Определить при каком значении параметра k векторы и ортогональны.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

4. Даны вершины тетраэдра ABCD. Найти высоту опущенную из вершины D. Определить угол, образуемый ребром AD с плоскостью основания.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

5. Даны координаты вершин треугольника ABC. Составить уравнения сторон треугольника, уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины A. Найти длину высоты, опущенной из вершины B. Сделать чертёж в плоскости xOy.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

6. Определить тип кривых второго порядка и их основные параметры. Сделать чертёж.

1) ; ; ; .

2) ; ; ; .

3) ; ; ; .

4) ; ; ; .

5) ; ; ; .

6) ; ; ; .

7) ; ; ; .

8) ; ; ; .

9) ; ; ; .

10) ; ; ; .

11) ; ; ; .

12) ; ; ; .

13) ; ; ; .

14) ; ; ; .

15) ; ; ; .

16) ; ; ; .

17) ; ; ; .

18) ; ; ; .

19) ; ; ; .

20) ; ; ; .

21) ; ; ; .

22) ; ; ; .

23) ; ; ; .

24) ; ; ; .

25) ; ; ; .

7. Найти угол между плоскостями. Написать каноническое уравнение линии пересечения плоскостей.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

8. Найти точку M пересечения прямой l и плоскости π. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A: а) параллельно данной прямой (l₁); б) перпендикулярно данной плоскости (l₂ ). Найти точку B, симметричную данной точке A относительно данной плоскости.

1) l: ; π: ; A(2, 1, 1).

2) l: ; π: ; A(4, -1, 0).

3) l: ; π: ; A(1, 2, -1).

4) l: ; π: ; A(0, 1, -2).

5) l: ; π: ; A(7, 4, 1).

6) l: ; π: ; A(2, -4, 1).

7) l: ; π: ; A(0, 5, 7).

8) l: ; π: ; A(1, -1, 5).

9) l: ; π: ; A(2, 0, -1).

10) l: ; π: ; A(-1, -1, 2).

11) l: ; π: ; A(1, 1, 1).

12) l: ; π: ; A(9, 7, 0).

13) l: ; π: ; A(0, 5, 8).

14) l: π: A(0, 2, 0).

15) l: π: A(1, 2, 0).

16) l: π: A(1, 7, 6).

17) l: π: A(2, 3, -1).

18) l: π: A(1, 2, 1).

19) l: π: A(1, 2, -4).

20) l: π: A(1, 1, 1).

21) l: π: A(1, -1, 7).

22) l: π: A(0, 8, 3).

23) l: π: A(2, 2, 0).

24) l: π: A(1, -1, 2).

25) l: π: A(1, 2, -3).

Теоретический материал.

Векторы. Основные операции над векторами

Вектор – направленный отрезок.

Вектор характеризуется длиной и направлением.

Длина вектора – расстояние между началом и концом отрезка.

Начало вектора не фиксируется, его можно приложить к любой точке пространства.

Два вектора равны, если они одной длины и одинаково направлены.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы делятся на сонаправленные и противоположно направленные: – сонаправленные, - противоположно направленные.

Векторы называются компланарными, если они лежат на параллельных плоскостях или в одной плоскости.

На трех некомпланарных векторах, как на составляющих, можно построить параллелепипед.

Действие с векторами: 1. Сложение:

 

 

2. Вычитание:

 

3. Умножение на число: . Если k >0, то ;

если k <0, то . Справедливы следующие свойства:

1) ; 2) .

Теорема 1: Два ненулевых вектора и компланарны тогда и только тогда, когда существует число такое, что .

Теорема 2: В плоскости любой вектор можно разложить по двум данным некомпланарным векторам и , причем единственным образом: .

Теорема 3: Три вектора компланарны, когда один из них можно записать в виде линейной комбинации двух других.

Теорема 4: В пространстве R³ существует единственное разложение вектора по трем некомпланарным векторам , , :

Проекция вектора на ось и координаты вектора

Пусть в пространстве даны две точки А и В, через них проведем плоскости a и b, перпендикулярные оси l, которые пересекают ось в точках А₁ и В₁. Тогда вектор – это проекция вектора на ось l.

Скалярная проекция на ось – это число, равное по абсолютной величине длине вектора и взятое со знаком плюс, если сонаправлен с осью l и со знаком минус, если противоположно направлен.

Т.е.

Можно доказать, что скалярная проекция на l равна: , где .

1) ()= +

2) где .

Пусть даны некомпланарные векторы: , , Î R³, тогда для любого вектора существуют такие числа x, y, z, что . Числа x, y, z – это координаты разложения вектора в базисе , , . Эти координаты являются скалярными проекциями вектора на оси, за единицу измерения которых взяты длины векторов , , соответственно. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то они определяют прямоугольно-декартовую систему координат в пространстве.

- радиус-вектор т. М

=(x; y; z)

Координаты т. М определяют как координаты её радиус-вектора.

Действия с векторами в координатной форме

Если , то .

Длина этого вектора равна .

Если , то .

Пусть , , тогда , а .

Из последней формулы имеем, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. .

Пусть вектор образует с координатными осями углы , тогда где ­ направляющие косинусы вектора .

Вектор ­ орт вектора .

Векторы и сонаправлены и .

Очевидно, что , откуда имеем , , .

 

Скалярное произведение векторов, основные свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: .

Свойства:

1.

2.

3.

4. .

Доказательство: , где .

5. ; ()

6. Физический смысл скалярного произведения это работа по перемещению материальной точки по вектору под действием силы :

7. Если , то

Векторное произведение векторов

Три вектора образуют правую тройку если из конца вектора кратчайшее перемещение от к видно против часовой стрелки.

Векторным произведением двух векторов называется вектор перпендикулярный данным, образующий с ними правую тройку, а его длина равна произведению длин данных векторов, умноженному на синус угла между данными векторами: .

Свойства векторного произведения:

1.

2.

3. Если ; , то

Следствие:

4.

5. Если , то

6. Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на составляющих.

7. Физический смысл векторного произведения: векторное произведение угловой скорости на радиус–вектор движущийся по окружности точки равно линейной скорости этой точки.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов называют число равное векторному произведению двух векторов умноженному на вектор скалярно. Т.е.

Свойства смешанного произведения:

1. Если , , то

2. Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на составляющих.

3. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда когда их смешанное произведение равно нулю.

Различные уравнения прямой в плоскости

Прямая – это линия первого порядка, т.е. переменные x и y входят в уравнение линейно (в первой степени).

Основные уравнения прямой.

– это уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂)..

=(m;n), уравнение прямой, проходящей через данную т. А, параллельную , запишется в виде: .

Пусть прямая l проходит через т. А (х₁, у₁), перпендикулярную :

a(x–x₁)+b(y–y₁)=0 – уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярную данному вектору.

Если в последнем уравнении раскроем скобки, то получим общее уравнение прямой: ax+by+c=0 .

Пусть прямая l отсекает на координатных осях отрезки p и q. A(p; 0); B(0; q) ­ точки пересечения с осями, тогда ­ это уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой, проходящей через т. А(x₁; y₁) с заданным угловым коэффициентом имеет вид: y–y₁=k(x–x₁) (6).

Уравнение прямой, отсекающей на оси ОХ отрезок b с угловым коэффициентом k, запишется y=kx+b (7).

Если прямая l задана уравнением ax+by+c=0, то расстояние от точки М(x₀; y₀) до l можно найти по формуле: .

Взаимное расположение прямых.

Если l₁: a₁x+b₁y+c₁=0, а l₂: a₂x+b₂y+c₂=0 и если , то l₁ || l₂,

а если , то l₁ º l₂ , если a₁a₂+b₁b₂=0, то l₁ ^ l₂.