ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ АНАЛИЗА ПОНЯТИЙ И ИСТИН.

 

Теперь оставим в стороне все абстракции и каждый термин будем мыслить только по отношению к конкретным вещам, будь то субстанция, например Я, или явление, например «радуга». Таким образом, мы можем теперь не заботиться о различении абстрактных и конкретных терминов, во всяком случае будем употреблять только такие абстракции, которые являются логическими, или понятийными, как, например, «5-ность Л», что означает, что «х6 А есть Z?» 2. Отрицательное есть не- Л. Не- не- Л есть то же, что А. Положительное есть А, если, разумеется, оно не является каким-либо не- У при одновременном допущении, что Y не есть не- Z и т. д. Всякий термин мыслится положительным, если не указывается, что он отрицательный. Положительное есть то же, что и сущее.

 

Не- сущее есть то же, что чисто отрицательное, т. е. лишенное всего, или не- Y, т. е. не- Л, не- Z?, не- С и т. д., т. е. то, о чем говорится: «у него нет никаких свойств».

 

Мы будем принимать здесь также всякий термин за полный, т. е. за существительное, так что «большой» есть то же, что и «большое сущее», или, так сказать, великость, подобно тому как носатый человек называется «носатый». Итак, и в данном случае мы не нуждаемся в различении прилагательного и существительного, за исключением необходимости обозначить эмфазу.

 

Сущее существует либо само по себе, либо акцидентально, т. е. термин бывает либо необходимый, либо изменяемый. Так, «человек» есть сущее само по себе, но «ученый человек», «король» суть акцидентально сущие. Ведь вещь, называемая «человек», не может перестать быть человеком, без того чтобы не исчезнуть вообще; но кто-то может сделаться и перестать быть королем или ученым, хотя и остаться тем же существом.

 

Термин бывает либо интегральный, т. е. совершенный, как «сущее», «ученый», как «тот же самый, что и Л», или «подобный Л», — тогда он может быть или субъектом, или предикатом предложения, даже без всякого дополне-

 

==572

 

ния, — либо частичный, т. е. несовершенный, как «тот же самый», «подобный», где нечто должно быть добавлено (именно само Л), чтобы возник интегральный термин. А то, что должно быть добавлено, присоединяется косвенно; прямой термин, который добавляется к интегральному, всегда может быть добавлен или опущен без изменения цельности термина. Два интегральных термина соединяются прямо, когда они образуют новый интегральный термин. Между тем не всякий термин, к которому косвенно добавляется другой, является частичным. Так, «меч» есть интегральный термин, даже если благодаря косвенному дополнению из него получается «меч Евандра»3. Таким образом, нечто не- прямое можно опустить, не нарушая цельности термина, как в данном случае косвенное дополнение «Евандра». С другой стороны, косвенный термин при опущении прямого не создает интегрального термина. И поэтому, если термин, который является интегральным сам по себе, добавить к другому термину с каким-то изменением или знаком связи, так чтобы при опущении другого он не создавал интегрального термина, такое присоединение является косвенным. Но интегральный термин может получиться из косвенного, отделенного от прямого, как из косвенного термина «Евандра» может получиться «то, которое есть вещь Евандра», т. е. «Евандров».

 

Будет полезно позаботиться о том, чтобы термины интегрировались. Поэтому потребуются некоторые общие знаки вещей или терминов. Так, если мы хотим в нашей характеристике всегда использовать только интегральные термины, не следует говорить «Цезарь подобен Александру», но «Цезарь подобен не- Л, которое есть Александр», т. е. подобен вещи, которая есть Александр. Следовательно, наш термин будет не «подобен», а «подобен не- Л». Таким же образом мы не употребляем словесного выражения «меч Евандра», но «меч, который есть вещь Евандра», и «который есть меч Евандра» будет одним интегральным термином. Подобным образом мы сможем делить любой составной термин на интегральные. Но в какой степени и как именно это можно выполнить, мы узнаем из дальнейшего. Если это всегда будет получаться, у нас будут только интегральные термины. Посмотрим, можно ли образовать подобным образом интегральные термины из самих частичных, как, например, вместо «Л в В» — «Л, существующее в чем-то, что есть Z?».

 

==573

 

Отсюда также ясно, что существуют интегральные термины, которые разлагаются на частичные, и существуют прямые, в которые, как это очевидно, входят косвенные, но если разложить первые, т. е. подставить определение вместо определяемого. Следовательно, прежде чем объяснять интегральные термины, которые разлагаются на частичные термины и частицы, должны быть объяснены сами эти частичные термины и частицы, которые, будучи добавлены к косвенным терминам, создают прямые, а добавленные к частичным терминам, образуют интегральные. Но прежде частичных терминов и частичек должны быть объяснены те интегральные термины, которые или вообще не разлагаются, пли разлагаются только в интегральные термины. Во всяком случае такого рода интегральные термины должны быть независимыми от частичных. Таковы по крайней мере общие термины, такие, как «термин», «сущее», ибо в них нуждаются сами частичные, чтобы перейти в интегральные, поскольку крайнее дополнение к частичному или косвенному термину, необходимое, чтобы сделать его интегральным, будучи само интегральным, не может снова быть разложено на интегральный и частичный. Следует перечислить такие интегральные термины, которые мы не можем разложить на косвенные и частичные термины; это будет осуществлено через анализ остальных терминов. Сначала будет достаточно перечислить в качестве чисто интегральных те, разложение которых в неинтегральные, по-видимому, не столь необходимо. Анализ должен также привести к тому, чтобы при небольшом числе интегральных терминов, составленных из частичных и косвенных, все остальные могли составляться из них прямо, т. е. подобно, или без косвенных терминов. Так станет возможным установить небольшое число интегральных терминов, или, во всяком случае, точно определенных, или расположенных в каком-то определенном порядке, которые могут рассматриваться как простые в прямом анализе и из которых возникают остальные, более сложные, подобно тому как производные числа — из простых. Таким образом, каждому понятию, коль скоро оно разлагается прямо, могло бы быть придано характеристическое число.

 

Итак, мы имеем: во-первых, первоначальные простые интегральные термины, неразложимые или принимаемые за неразложимые, например А (Я имею в виду интегральный термин, ибо частичные возникают из интег-

 

==574

 

ралъного и частицы, как, например, «часть» есть «сущее в чем-то» и т. д.); во-вторых, простые частицы, т. е. первоначальные синкатегорематические термины, например «в»; в-третьих, первоначальные интегральные термины, составленные из одних простых терминов, и притом прямо, т. е. без участия частиц или синкатегорематических терминов, как, например, АВ; в-четвертых, составные частицы, составленные из одних простых частиц, без участия категорематического термина, например «с — в». Этой частицей мы могли бы пользоваться для обозначения вещи, которая «с» чем-то находится «в» чем-то (если ее присоединить к категорематическому термину); в-пятых, мы имеем производные простые интегральные термины. Производными я называю те, которые возникают не в результате простого составления, а именно подобного, т. е. прямого с прямым, как, например, АВ, но с помощью некоей флексии или частицы и синкатегорематического термина, например А в В, где А и В входят неподобно в составленный из них термин, а именно «то А в В». Это различие между составлением и деривацией в известной мере соблюдают грамматики. Итак, существуют простые производные, которые не могут быть разложены на другие производные термины, а только на первоначальные простые термины с частицами. В-шестых, мы имеем сложные производные интегральные термины, которые прямо, т. е. подобно, составляются из других производных, а последние также косвенно составляются из первоначальных сложных терминов вместе с частицами. В-седьмых, можно спорить, являются ли эти производные, состоящие из простых первоначальных терминов и составных частиц, простыми или составными. Конечно, они могут быть разложены на другие категорематические термины только дупликацией одного первоначального термина, пока из сложения его то с одной, то с другой частицей (так что из простого составляется сложный) не возникнут два новых производных простых термина, из которых может возникнуть предложенный производный термин, как если бы он был составным. В-восьмых, подобно тому как мы имеем первоначальные и производные категорематические термины, так могут существовать и производные частицы, и они в свою очередь являются простыми, если составлены из простой частицы и первоначального термина, но (в-девятых) являются сложными, если состоят из составной частицы и первоначального термина; эти могут быть

 

==575

 

разложены на большее число производных простых частиц. И в-десятых, таким же образом можно усомниться, следует ли говорить о производной частице, составленной из первоначального составного термина и простой частицы 4.

 

Следует также принять во внимание, что и первоначальные простые частицы не объединяются столь же подобно, как простые первоначальные термины. Поэтому в слиянии частиц может встретиться много разнообразия. Например, если я говорю «Иоанн Петра Павла», т. е. «Иоанн [сын] Петра, который есть [сын] Павла», то это некоторое подобное составление, но если я говорю «Сократ [сын] Софрониска из Афин», то это неподобное составление частиц или флексий. Отсюда, несомненно, возникнут различные отношения, различные «косвенности» и их смешения, в точном установлении которых заключается главная часть искусства характеристики. Но об этом нельзя судить с достаточным основанием, пока с совершенной точностью не определены первоначальные простые как термины, так и частицы или по крайней мере вместо них не будут приняты термины, хотя и производные и составные, но более близкие к первоначальным простым, пока постепенно путь дальнейшего анализа не откроет собственной гармонии.

 

Под частицами я здесь разумею некие первоначальные частности, если существуют такие, которые не могут быть разложены в другие первоначальные частности. Но я полагаю, что в действительности они возникают из сущего либо другого интегрального термина в соединении с частицей.

 

Пусть первоначальными простыми терминами либо такими, которые следует принимать за них, будут следующие. Термин (под которым я понимаю как сущее, так и не- сущее). Сущее или возможное (я имею в виду только нечто конкретное, так как я исключил абстрактное как не- необходимое). Существующее (хотя в действительности можно привести причину существования и «существующее» может быть определено как совместимое с большим числом вещей, чем что-либо другое, несовместимое и этим. Но мы воздержимся от этой темы как слишком глубокой). Индивидуум (хотя на деле всякое сущее есть индивидуум, мы определим термины, которые будут обозначать или какой-нибудь индивидуум данной определенной природы, или какой-то определенный детерминиро-

 

==576

 

ванный индивидуум; например, «человек», т. е. «любой человек», означает любой индивидуум, причастный человеческой природе. Определенный индивидуум есть «этот», на которого я указываю или показывая на него, пли придавая ему отличительные признаки; хотя невозможны признаки, совершенно отличающие его от всякого другого возможного индивидуума, однако существуют признаки, отличающие его от других встречающихся индивидуумов (есть нечто специальное и трудно объяснимое в этом понятии; однако, поскольку оно интегрально, я решил поместить его здесь).

 

Первоначальными простыми терминами являются также все те смутные чувственные явления, которые мы хотя и воспринимаем ясно, но не можем отчетливо ни объяснить, ни определить через другие понятия, ни обозначить словами. Так, хотя мы можем сказать слепому многое о распространении, интенсивности, форме и различных других признаках, которые сопровождают цвета, но помимо отчетливых сопровождающих понятий есть в цвете нечто невыразимое, что слепому не помогут воспринять никакие наши слова, и ему удастся сделать это только в том случае, если он когда-нибудь прозреет. II в этом смысле белое, красное, желтое и голубое, поскольку они складываются из этих недоступных нашему воображению невыразимых свойств, суть некие первоначальные термины. Но поскольку они смутны и ничем не помогают рассуждению, представляется полезным избегать их, насколько это возможно, применяя вместо дефиниций четкие сопутствующие понятия в той мере, в какой они достаточны для различения смутных понятий. Иногда будет полезным и смешивать оба метода, смотря по тому, как будет удобно, и таким образом мы сможем дать этим первоначальным терминам их собственные признаки, объясняя остальные через них. Так, «цветное» есть термин, объяснимый через отношение к нашим глазам, но так как это отношение невозможно точно выразить, не прибегая к многословным рассуждениям, и сам глаз, как некая машина, в свою очередь нуждается в пространном объяснении, то «цветное» может быть принято за первоначальный простой термин, такой, что, добавляя к нему некоторые отличительные признаки, можно будет обозначить разнообразные цвета. Однако «цветное», вероятно, можно определить через перцепцию поверхности без чувственного соприкосновения. Но какое из определений лучше, станет видно в дальнейшем.

 

==577

 

В числе простых первоначальных терминов, по-видимому, могут рассматриваться все понятия, которые содержат материю определенного количества, т. е. в которых гомогенные вещи согласуются между собой, например «имеющее величину», «протяженное», «длящееся», «напряженное», но эти понятия, если не ошибаюсь, могут быть разложены дальше. В частности, можно сомневаться, действительно ли простыми являются понятия «протяженное» и «мыслящее», ведь многие 5 полагают, что это понятия, воспринимающиеся сами по себе и не нуждающиеся в дальнейшем разложении; но «протяженное», по-видимому, есть непрерывное, обладающее сосуществующими частями, и термин «мыслящее», по-видимому, не является интегральным, ибо он соотносится с некоторым объектом, который мыслится. Однако в самом мышлении есть какая-то абсолютная реальность, которую трудно выразить словами. И в протяженности мы, по-видимому, воспринимаем что-то еще кроме непрерывности и существования. Тем не менее понятие протяженности представляется достаточно полным, если воспринимать непрерывное сосуществование, так что все сосуществующее образует одно и любое существующее в протяженном есть «продолжение», т. е. «непрерывно повторимое». Между тем было бы полезным принять в качестве первоначальных простых терминов «протяженное» или даже «положение», т. е. существующее в пространстве, а также и «мышление», т. е. нечто единое, выражающее многое посредством имманентного акта, или сознающее, тем более если к этому мы присоединим некоторые аксиомы, из которых выводились бы все прочие положения посредством добавлений дефиниций. Но все это, как я уже не раз говорил, станет яснее из дальнейшего. Ведь лучше продвигаться вперед, чем из-за чрезмерного педантизма завязнуть в самом начале.

 

Постараемся теперь объяснить частичные термины, т. е. относительные, из которых рождаются и частицы, обозначающие отношения терминов. Первое, что приходит мне в голову, — это «то же самое». «А есть то же самое, что и В» означает, что одно может быть подставлено вместо другого в любом предложении, не нарушая его истинности 6.

 

Ведь эти отношения раскрываются через предложения, или истины. Так, «Александр Великий» и «царь Македонии, победитель Дария», а также «треугольник» и «трех-

 

==578

 

сторонник» могут быть подставлены один вместо другого. Далее, всегда может быть показано путем разложения, что эти термины постоянно совпадают, а именно: если их разлагать до тех пор, пока не станет ясно априори, что это возможно, а если к тому же обнаруживается формально, что это одни и те же термины, тогда раздельные термины окажутся теми же самыми. Пусть будут термин А и термин В', если вместо того или другого подставить дефиницию, а вместо любого составляющего термина — Другую дефиницию, пока не дойдем до первоначальных простых терминов, если, кроме того, в одном обнаруживается то же, что и в другом, т. е. формально то же самое, то А и В будут, следовательно, совпадающими, или виртуально теми же самыми. Следовательно, можно дать такое определение: А совпадает с В, если любое из них может быть подставлено вместо другого, не нарушая истинности, или если при разложении и того и другого путем подстановки их значений (т. е. дефиниций) на место терминов и тут и там появляется одно и то же, я повторяю, одно и то же формально. Например, если бы и тут и там появились L, М, N. Ведь при этом без нарушения истинности происходят изменения, являющиеся результатом подстановки определения вместо определяемого термина либо наоборот. Отсюда следует: если А совпадает с В, то и В совпадает с А, Следующее понятие: А — субъект, В — предикат, если В может быть подставлено вместо А, не нарушая истинности, т. е. если при разложении А и В те же термины, которые появляются в В, появятся также и в Л. То же самое можно разъяснить иначе: А есть В, если всякое А и некоторое В совпадают.

 

Итак, мы имеем знаки: совпадающее с В, субъект, предикат, есть, всякое, некоторое.

 

Если говорят: «Некоторое А есть В», смысл таков: некоторое А и некоторое В совпадают. Отсюда следует: «Некоторое В есть А».

 

Если всякое А и некоторое В совпадают, также совпадают некоторое А и некоторое В. По-видимому, это можно доказать и из отрицательных, а потому обратимся к ним.

 

Подобно тому как Л и Л суть первые совпадающие, так Л и не- Л суть первые раздельные. Раздельное — если ложно, что «Некоторое Л есть В». Так, если В = не- Л, то ложно, что некоторое Л есть В.

 

Вообще, если Л есть В, то ложно, что Л есть не-5.

 

==579

 

Если ложно, что некоторое А есть ае- В, говорят: «Ни одно А не есть не -В», т. е. «Всякое А есть 2?».

 

Отсюда можно доказать следующий вывод. Всякое { есть В. Следовательно, некоторое А есть В. Т. е. всякое А и некоторое В совпадают. Следовательно, некоторое А и некоторое В совпадают. Ведь если всякое А и некоторое В совпадают, следовательно, ложно, что некоторое А и некоторое не-В совпадают (из определения «всякого»). Следовательно, истинно, что некоторое А и некоторое В совпадают.

 

Но весь вопрос о высказываниях и отношениях терминов, возникающих из различных высказываний, следует рассмотреть более внимательно. Ведь отсюда должно быть установлено происхождение большинства частичных терминов и частиц 7.

 

Я говорю, что высказывания совпадают, если одно может быть подставлено вместо другого без нарушения истины, т. е. если они заключают в себе друг друга.

 

(1) Совпадают: (прямое) высказывание L и (рефлексивное) высказывание «L истинно». Отсюда совпадают: «Истинно (ложно), что L истинно» и «Следовательно, L истинно (.южно)». (Это скорее следует различать в соответствии с разъяснением предложений.) (Вообще, если А есть термин, всегда можно будет сказать, что «Л истинно» совпадает с чем-то.)

 

* Совпадают: «L истинно» и «ложно, что L ложно».

 

Совпадают: «истинно, что L ложно» и «Z ложно». Я могу доказать это, как теорему, следующим образом: «L ложно» есть высказывание, которое будем называть М. Теперь «М истинно» и «Л/» совпадают (по п. 1). Следовачельно, если подставить вместо самого М его значение, совпадают «истинно, что L ложно» и «L ложно»

 

(То же самое доказывается иначе, хотя и пр< ст кшнее, с помощью * так: «Истинно, что L ложно» совпадает с «Ложно, что ложно, что L ложно» (по *), и это в свою очередь совпадает с предложением «Ложно, что L истинно» (по тому же *), а это — со следующим предложением. «.L ложно» (по п. 1).)

 

(2) Если совпадают А и В, совпадают также нс- Л и не- В. А не- А противоречиво.

 

Возможное — это то, что не содержит противоречивого, т е. Л не- Л. Возможно то, что не есть Y не- У

 

Совпадают: не- не- Л и А, поэтому, если совпадают не- Л и В, совпадают гак же не- B и Л.

 

==580

 

(3) Совпадают: «не истинно» и «ложно».

 

Следовательно, совпадают: «не ложно» и «истинно».

 

Если Л = В, также не- Л = не- В.

 

Если Л = «нечто истинное», то не- Л = не-(нечто истинное), т. е. «не истинное», или «ложное», ибо не- Л содержит не-ЛГ8.

 

(4) Совпадают: «Истинно, что L истинно» и «Не истинно, что L не истинно». Поэтому совпадают «L» и «Ложно, что L ложно». Потому что «L» — это то же, что и «L истинно», И ЭТО ТО ЖО, ЧТО «ИCTИHНO, ЧТО L ИСТИННО» (ПО

 

п 1), и это то же, что «Не истинно, что L не истинно» (по п. 4), и это то же, что «Ложно, что L ложно» (по п. 3).

 

Совпадают: «L» п «Не ложно, что L не ложно». Ибо «/.» есть то же, что «Истинно, что L истинно» (по п. 1), и это то же, что «Не ложно, что L не ложно» (по п. 3).

 

Совпадают: «L ложно» и «Не ложно, что L не истинно».

 

Совпадают: «L ложно» и «Не истинно, что L не ложно». Это легко доказывается из предшествующего.

 

Вообще, если предложение называется истинным или не истинным, ложным или не ложным, тогда истинное, помноженное на истинное, ложное — на ложное дает истинное. «Нет», умноженное на «нет», равнозначно опущению обоих «нет».

 

Из этого доказывается также, что всякое предложение или истинно, или ложно. Т. е. если L не истинно, то оно ложно. Если оно истинно, то оно не ложно; если оно не ложно, то оно истинно; если оно ложно, то оно не истинно. Всё по п. 3.

 

Предложения же 1, 2, 3, 4 служат в качестве определения, и поэтому они принимаются без доказательства, поскольку они указывают на употребление некоторых знаков, а именно ложности и истинности, утверждения и отрицания 9.

 

Л есть В (т. е. В находится в Л, т. е. В может быть подставлено вместо Л).

 

Категорическое предложение: «Л совпадает с Д», «Л не совпадает с В».

 

Л is. В могут обозначать термины пли другие предложения.

 

(5) «Л не совпадает с В» есть то же, что и «Ложно, что Л совпадает с В».

 

(6) Если Л совпадает с В, В совпадает с Л.

 

(7) Если Л не совпадает с В, В не совпадает с Л.

 

==581

 

(8) Если А совпадает с В и В совпадает с С, также и А совпадает с С.

 

(9) Если А совпадает с В, не- А совпадает с не- В. Эти четыре аксиомы суть королларии определения, что те термины совпадают, один из которых может быть подставлен вместо другого

 

(10) Предложение, истинное само по себе: А совпадает с А.

 

(11) Предложение, ложное само по себе: А совпадает с не- А.

 

(12) Отсюда делается вывод, что ложно, что не- Л совпадает с А (по п. 6).

 

(13) Также делается вывод, что истинно, что А не совпадает с не-А (по п. 5)

 

Эти предложения можно было бы рассматривать как истины, получаемые посредством выводов

 

Кроме того, как я сказал, А обозначает здесь термин или предложение. Отсюда не-4 обозначает противоречащее термину или противоречащее предложению.

 

(14) Если принимается предложение и не говорится ничего дополнительно, считается, что оно истинно. Совпадает с п. 1.

 

(15) Не- А совпадает с не- В. Это королларии п. 10 при предположении, что не-В совпадает с А.

 

(16) Утвердительное предложение: «А есть В», или «А содержит В», т. е. (как говорит Аристотель) «В присутствует в А», разумеется прямо. Т. е, если подставить вместо А его значение, получится «А совпадает с BY». Например, «Человек есть животное», т. е. человек есть то же, что и животное, а именно: человек есть то же, что и разумное животное. Знаком Y я обозначаю нечто неопределенное, так что BY есть то же, что и «некоторое В», v е. животное (где подразумевается «разумное», если только нам известно, что это должно подразумеваться), т. е. «некоторое животное». Таким образом, «А есть В» есть то же, что «А есть совпадающее с некоторым В», т. е. А = BY и.

 

(17) Отсюда совпадают предложения: «4 есть В» и «Некоторое В совпадает с А», т. е. BY =A.

 

(18) Совпадают: А и АА, и ААА, и т. д. по природе этой характеристики, т. е. человек, и человек человек, и человек человек человек. Таким образом, если кто-нибудь будет одновременно назван человеком и животным, то, разлагая «человек» до «разумного животного», его равным

 

==582

 

образом можно будет назвать «разумным животным» я «животным», т. е. «разумным животным» и

 

(19) Если А есть В, то вместо А можно подставить В, когда речь идет только о содержании; например, если «А есть В» и «В есть С», то «А будет С». Это доказывается из природы совпадения, ибо совпадающие могут быть подставлены друг вместо друга (за исключением предложений, которые можно было бы назвать формальными, где одно из совпадающих принимается столь формально, что отличается от остальных, которые в действительности рефлексивны и говорят не столько о вещи, сколько о нашем способе понимания ее; в этом и состоит различие между (тем и другим совпадением). Таким образом, если (по п. 16) А = BY и В = CZ, то А = CYZ, т. е А содержит С 12.

 

(20) Следует заметить, и это в нашем исчислении должно быть установлено заранее, что вместо любого числа букв можно подставить одну, например YZ = X, однако до этого еще не использованную в этом рациональном исчислении, чтобы не возникло неясности.

 

(21) Далее. Определенное обозначается мною первыми буквами алфавита, неопределенное — последними, если нет иных указаний.

 

(22) Таким образом, вместо любого числа определенных букв можно подставить одну определенную, значение которой, т. е. определение, суть те буквы, вместо которых она подставлена.

 

(23) Вместо любой определенной буквы можно подставить неопределенную, еще не использованную. Можно таким же образом подставлять и вместо любого числа определенных, и вместо определенных и неопределенных букв, т. е. можно положить А = Y.

 

(24) К любой букве может быть добавлена новая неопределенная, например, вместо А можно поставить А Y, ибо А = АА (по п. 18) и А есть Y (т е. вместо А можно поставить Y, по п. 23). Следовательно, А = AY.

 

(25) «А есть В» (А содержит В) влечет (содержит) «Некоторое В есть (содержит) А».

 

Ибо (А есть В) = (BY = А) (по п. 17) = (BY = AY) (по п. 24) = «Некоторое В есть А» (по п. 17).

 

(26) В связи с этим следует напомнить еще кое-что установленное раньше относительно этого исчисления. А именно, то, что вообще утверждается или умозаключается, но не в качестве гипотезы, о любых еще не исполь-

 

==583

 

зованных буквах, должно мыслиться о любых других буквах. Так, если А = АА, можно сказать также, что В =ВВ.

 

(27) Некоторое В = YB. Следовательно, подобным образом некоторое А = ZA; во всяком случае, это можно говорить, следуя примеру предыдущего (п. 26), однако надо принять новую неопределенную букву в последующем равенстве, а именно Z, как ранее была принята.

 

(28) Термин, употребленный просто, я обычно рассматриваю как общий, например «А есть В», т. е. «Всякое А есть В», т. е. в понятии А содержится понятие /Л

 

(29) «Л есть В», следовательно, «Некоторое А есть /.» (или «Л содержит В» влечет, или содержит, «Некоторое 1 содержит В»). Ведь «.А есть В» = «ЛУ есть В» (по п. 24).

 

(30) «Л есть Z?» и «В есть А» — это то же самое, что «Л и В совпадают», т. е. А совпадает с В, которое совпадает с А. Ведь А = BY и В = AZ. Следовательно (по п. 31), А = AYZ. Следовательно, YZ излишни, т. е. Z содержится в А. Следовательно, вместо «В = AZ» можно сказать «В = -4».

 

(31) Необходимо также отметить, что, если А = AY, тогда либо Y излишне пли скорее является общим термином, как «сущее», и во всяком случае может быть безболезненно опущено, как единица в арифметическом умножении, либо Y есть в А. Более того, Y действительно всегда есть в А, если говорят: «Л = YA».

 

(32) Отрицательное предложение: «А не содержит В», т. е. «Ложно, что А есть (содержит) В» 1а.

 

(32) «В не-2?» невозможно, т. е. если В не- В = С, то С будет невозможно 14.

 

/33) Отсюда если А = не- В, то АВ будет невозможно.

 

(34) То, что содержит «В не- В», есть то же, что и «невозможное», т. е. «EB не- В» есть то же, что и «невозможное».

 

(35) Предложение ложно, если в нем содержится, что А В содержит не-В (при допущении, что Я и Л возможны). Я понимаю под В и Y как термины, так и предложения 1Э.

 

С36) А = В. Следовательно, А есть В, т. е, А = В содержит, что А есть В. Ведь если бы имелся излишний Y, мы имели бы А = BY, т. е. А есть В 16. То же самое доказывается другим путем: А = В есть то же, что А = BY 11 В = AY. Следовательно, А = В содержит А = BY. Точно так же А = В, следовательно, АА = ВА. Следовательно, А = ВА, Следовательно, А есть В.

 

==584

 

(37) В есть В. Ведь В = В (по п. 10). Следовательно, В есть В (по п. 36).

 

(38) АВ есть В. Это недоказуемо и является либо тождественным предложением, либо определением или «-З есть», или «содержащего», или «истинного предложения». Ибо имеется в виду, что АВ, т. е. то, что содержит В, есть В, т. е. содержит В.

 

(39) Если В содержит С, тогда АВ содержит С. Ибо ЛВ есть В (по п. 38), В есть С (по предположению). Следовательно (по п. 19), АВ есть С.

 

(40) Истинное предложение есть то, которое совпадает со следующим: «АВ есть В», т. е. может быть сведено к этому первоначально истинному. (Я полагаю, что это приложимо и к не категорическим предложениям.)

 

(41) Следовательно, поскольку ложно то предложение, которое не является истинным (по п. 3), то (по п. 40) ложное предложение есть то же, что и предложение, которое не совпадает с «АВ есть В»; т. е. ложное предложении есть то же, что и предложение, которое не может быть доказано.

 

Предложения факта не всегда могут быть нами доказаны и поэтому принимаются как предположения.

 

(42) Из предложений «А содержит В» и «А не содержит В» одно истинно, другое ложно, т. е. они противоположны, потому что если одно может быть доказано, другое — не может — при условии, что термины возможны. Следовательно (по п. 41), они не являются одновременно истинными или ложными.

 

(43) «В содержит не- В» ложно, т. е. В не содержит не-А. И в том и в другом случае это ясно из предыдущего. Ведь при любом разложении эта форма остается неизменной и никогда не станет «АВ есть В». Это ясно из п. 42 и [может быть доказано] иным способом. В содержит б (по п. 37); следовательно, не содержит не- В. Иначе бы оно было невозможным (по п. 32).

 

(44) Точно так же очевидно, что «не-А содержит 5» ложно.

 

(45) Ложно, что В и ие-В совпадают. Очевидно из п. 43 и 44. При этом допускается, что термин В возможен.

 

(46) Ложно, что АВ содержит не- В, т. е. АВ не содержит не-В. Я предполагаю, что АВ возможно. Доказывается, как и п. 43. Ведь АВ содержит В, следовательно, не содержит не- В, поскольку является не- невозможным (по п. 32) 17.

 

==585

 

(47) «А содержит В» есть общеутвердительным по отношению к А, субъекту.

 

(48) «AY содержит В» есть частноутвердителъное по отношению к А.

 

(49) Если А В есть С, следует, что AY есть С, т. е. следует, что некоторое А есть С. Ведь может быть принято, что В = Y, по п. 23.

 

(50) «AY не есть В» есть общеотрицательное.

 

(51) Отсюда следует, что общеотрицательное и Частноутвердительное противоположны, т. е. если одно есть истинное, другое — ложное (по п. 48, 50).

 

(52) Частноутвердительное может быть обращено просто, т. е. если «Некоторое А есть В», то следует, что «Некоторое В есть А» Я доказываю это так: AY есть В по предположению, т. е. (по п. 16) А Y совпадает с BY. Следовательно (по п. 6), BY совпадает с AY. Следовательно (по п. 16), BY есть А. Что и требовалось доказать.

 

(53) Общеотрицательное обращается просто, т. е. если «Ни одно А не есть В», то следует: «Ни одно В не есть А». Ибо А Y не есть В (по предположению). Следовательно, AY не совпадает с BY (по п. 6). Следовательно (по п. 16), BY не есть А, Что и требовалось доказать.

 

(54) Общеутвердительное предложение обращается через ограничение, т. е. если «Всякое А есть В», то следует: «Некоторое В есть А». Ведь А есть В по предположению. Следовательно, «Некоторое А есть В» (по п. 29). Следовательно (по п. 52), «Некоторое В есть Л». То же самое более кратко: А совпадает с BY (по п. 16). Следовательно, BY совпадает с А (по п. 6). Следовательно (по п. 36), BY есть А. Стоит сопоставить эти два доказательства, чтобы понять, приводят ли они к одному и тому же или же раскрывают истинность какого-то предложения, до сих пор принимавшегося без доказательств 19.

 

(55) (55) Если А содержит В и А истинно, то и В также истинно. Под истинной или ложной буквой 2в я понимаю либо ложный термин (т. е. невозможный, или не- сущий), либо ложное предложение. И таким же образом под истинной буквой может пониматься возможный термин либо истинное предложение. И, как позднее будет разъяснено, целый силлогизм для меня также является предложением. Впрочем, то, что я здесь утверждаю, может быть выражено и следующим образом: любая часть истинного истинна, т. е. то, что содержится в истинном,

 

==586

 

является истинным. Это может быть доказано из следующего.

 

(56) Истинное вообще я определяю так: А истинно, если при подстановке значения вместо А, когда все, что входит в значение А, рассматривается (если это возможно) как А, никогда не возникает В и не- В, т. е. противоречие. Отсюда следует, что для того, чтобы быть уверенными в истинности, нужно либо продолжать разложение до первых истин — по крайней мере или таких, которые уже получены ранее таким методом, или таких, о которых известно, что они истинны, — либо доказать из самого процесса разложения, т. е. из некоторого общего отношения между предыдущими и последующими разложениями, что никогда не встретится такое, как бы долго ни продолжалось разложение. Это очень важно, ибо таким образом мы зачастую можем освободиться от длительного анализа. И может случиться, что сам этот анализ букв содержит нечто относительно последующих анализов, как в данном случае анализ «истинного». Можно также усомниться, необходимо ли всякое разложение доводить до первых истин, т. е. до неразложимого, особенно в отношении случайных истин, так как не хватит никакого времени, чтобы свести их к тождественным предложениям.

 

(57) Ложное вообще я определяю как то, что не есть истинное. Итак, чтобы утверждать, что нечто является ложным, необходимо, чтобы оно или было противоположно истинному, или содержало противоположное истинному, или содержало противоречие, т. е. В и не- В, или в случае доказательства было бы невозможно доказать его истинность, сколь бы долго не продолжался анализ.

 

(58) Таким образом, то, что содержит ложное, ложно.

 

(59) Однако нечто может содержать истинное и все же быть ложным, если, разумеется (по п. 58), оно содержит также и нечто ложное.

 

(60) Оказывается также, что отсюда можно узнать отличие необходимых истин от остальных, так как необходимые истины — это такие, которые могут быть сведены к тождественным предложениям, или такие, противоположные которым могут быть сведены к противоречивым; невозможные предложения — это такие, которые могут быть сведены к противоречивым, или такие, противоположные которым могут быть сведены к тождественным.

 

(61) Возможные предложения — это такие, о которых можно доказать, что в процессе их разложения никогда

 

==587

 

не возникнет противоречия. Случайные истинные предложения — такие, которые нуждаются в разложении, продолженном до бесконечности. Ложные же случайные предложения — такие, ложность которых можно доказать только тем, что невозможно доказать их истинность.

 

Представляется сомнительным, достаточно ли для доказательства истины того, что при продолжении анализа становится известно, что не возникнет никакого противоречия. Ведь отсюда будет следовать, что все возможное истинно. Несложный термин, который возможен,