Примеры. 1. Найти общее и особое решения автономного уравнения

1. Найти общее и особое решения автономного уравнения

Решение. В уравнении разделяем переменные:

.

Интегрируя обе части уравнения, находим где постоянная. Таким образом, общее решение. Интегральные кривые представляют собой параболы, которые переходят друг в друга при параллельном переносе вершины по оси абсцисс.

Нетрудно видеть, что является стационарным решением уравнения. Поскольку через каждую точку оси абсцисс проходят по крайней мере пара интегральных кривых (парабола и сама ось), то особое решение.

2. Решить уравнение:

а) б) в)

Решение. Это три уравнения с разделяющимися переменными.

а) Преобразуем уравнение и разделяем переменные:

При обращении в нуль и имеем четыре решения: , , и .

Интегрируя обе части уравнения , последовательно находим

На каждом этапе преобразования постоянная интегрирования обозначается в наиболее удобном виде, при этом При получаем все четыре выше указанных решения. Итак, общий интеграл уравнения:

б) Заметим, что – решение. Если , то в уравнении разделяем переменные: . Интегрируя обе части уравнения, имеем

Здесь Постоянная отвечает полученному ранее решению Итак, общеерешение уравнения

в) Непосредственной проверкой убеждаемся, что решение уравнения. Если , то разделяем переменные и интегрируем обе части:

где При получаем решение . Таким образом, общее решение уравнения

Заметим, что через точки с абсциссами не проходит ни одной интегральной кривой уравнения за исключением точек , которые принадлежат прямой .