Взаимозаменяемость ресурсов в задачах линейного программирования

Пусть мы находимся в классе задач линейного программирования:

Y_i = b_i - å a_ij × x_j⁰

c_j, a_ij, b_i – параметры модели

x_j⁰ – оптимальное решение

y_i – запасы ресурса i –го вида

Ф(х⁰), Y(х⁰) – выходные характеристики данной модели (результат решения оптимизационной задачи).

Реальная жизнь, рыночная обстановка всегда сопровождаются определенными возмущениями (это различные изменения).

∆c_j – отклонение по коэффициентам целевой функции,

∆a_ij – отклонение по нормативам затрат,

∆b_i – отклонение по ресурсу.

Предположим, что в системе возникло возмущение по некоему ресурсу Db_s.

Db_s Þ Dх_j

j-тая продукция имеет особо важное значение для системы. Ее выпуск необходимо сохранить на прежнем уровне, т.е. Dх_j = 0.

Dх_j = a_j^s Db_s

В этом случае можно сформулировать задачу взаимозаменяемости ресурсов.

a_j > 0; Db_s < 0 Þ Dх_j < 0.

Однако есть некоторый ресурс b_l, которым мы можем управлять.

a_j^l > 0 c изменением запасов ресурсов b_l.

Надо рассчитать дополнительное количество l – ресурса, которое позволило бы компенсировать недопоставку ресурса S.

Dх_j = a_j^l Db_l

Dх_j = 0

a_j^s Db_s = - a_j^l Db_l – условие взаимной компенсации

Db_l = - (a_j Db_s)/ a_j^l - коэффициент взаимозаменяемости

Введем в рассмотрение характеристику чувствительности критерия (целевой функции) к вариациям запаса ресурсов.

¶Ф

Z_i = i = 1, n

¶b_i

 

Ф = å С_jх_j

Dх_j

Z_i =å С_j =å С_ja_jⁱ

¶b_i

D Ф = Z_i Db_i

D Ф = å Z_s Db_s

_s

Коэффициенты Z_i для дефицитных ресурсов всегда больше 0. для недефицитных ресурсов коэффициенты Z_i равны 0.