ПРИМЕЧАНИЕ. Если одно из напряжений (входное или выходное) измеряется осциллографом, а другое вольтметром, нужно учитывать

Если одно из напряжений (входное или выходное) измеряется осциллографом, а другое вольтметром, нужно учитывать, что шкалы вольтметров переменного тока обычно градуированы в действующих значениях гармонических напряжений. При измерении вольтметрами относительных значений, — а именно отношение показаний и представляет здесь интерес — не существенно, снимаются ли с индикаторов приборов амплитуды или действующие значения. А вот при измерениях напряжений разными устройствами — осциллографом и вольтметром — это необходимо учитывать.

Схема измерений, показанная на рис. 3.4, — простейшая. Имеются приборы — измерители частотных характеристик, — позволяющие в автоматическом режиме получать на осциллографических индикаторах амплитудно-частотные характеристики и выполнять измерения отдельных параметров АЧХ. Основу таких приборов составляют генератор качающейся частоты, подключаемый к входу исследуемой цепи, и синхронизированный с ним осциллографический индикатор, на вертикально отклоняющие пластины которого подается напряжение с выхода исследуемой цепи. Частота колебаний генератора может изменяться управляющим напряжением. Предположим, что для управления используется напряжение в форме периодических пилообразных колебаний. В этом случае частота гармонического напряжения, поступающего с генератора на вход исследуемой цепи, периодически увеличивается по линейному закону. Одновременно (синхронно) луч индикатора под воздействием управляющего на­пряжения движется в горизонтальном направлении. Тем самым автоматически достигается соответствие горизонтальной координаты луча и частоты гармонического напряжения, воздействующего на цепь. Отклонение луча индикатора по вертикали пропорционально амплитуде (для линейного режима усиления) выходного напряжения, а следовательно, и значению АЧХ на частоте, соответствующей горизонтальной координате светящейся точки. Это при условии, что амплитуда напряжения генератора (входного напряжения цепи) при всех частотах не изменяется, что обычно и стремятся реализовать в подобных приборах посредством устройств автоматической регулировки. Надо иметь в виду, что в таких приборах предусмотрены режимы, позволяющие выводить на экраны индикаторов амплитудно-частотные характеристики при логарифмической разметке оси частот или обеих осей. В результате удается формировать на экране диаграммы Боде.

Для измерения фазового сдвига между выходным и входным напряжениями, а значит, и для снятия фазочастотной характеристики можно воспользоваться методикой, сводящейся к получению на экране осциллографа фигуры Лиссажу. Для этого устанавливают режим осциллографа, именуемый в инструкциях режимом X-Y. При этом на обе пары отклоняющих пластин подают исследуемые напряжения — входное на одну пару, выходное на другую. Если напряжеия, приложенные к пластинам, синфазны, траектория движения светящейся точки по экрану (ее и называют фигурой Лиссажу) будет прямой линией. Если напряжения сдвинуты по фазе, луч «нарисует» эллипс (рис. 3.5).

Абсолютное значение сдвига фаз ф между напряжениями, приложенными к разным парам отклоняющих пластин осциллографа, находится по фигуре Лиссажу через соотношение: | sin<p| = Х₀ /А = У₀ /В. Значения X_Q и А или У₀ и В (см. рис. 3.5) измеряют в делениях масштабной сетки осциллографа.

Временные характеристики цепей

Тестовыми сигналами наряду с гармоническими колебаниями считаются единичный ступенчатый скачок напряжения или тока, а также импульсная функция. Под импульсной функцией в данном контексте следует понимать очень узкий импульс единичной площади, настолько узкий, что реакция цепи на его воздействие перестает зависеть от формы такого импульса.

Произвольный сигнал, заданный функцией времени, можно представить совокупностью «простейших» сигналов: ступенчатых скачков (рис. 3.6, а) или узких импульсов (рис. 3.6, б), имеющих разные значения и возникающих с определенным временным сдвигом. Понятно, что в общем случае для представления произвольной функции тестовыми сигналами интервалы следования скачков или импульсов приходится брать достаточно малыми. В пределе приходим к интегральному представлению непрерывного сигнала — бесконечной суммой бесконечно малых скачков или бесконечной суммой бесконечно узких импульсов.

Понятно, что прямоугольный импульс напряжения можно представить двумя скачками напряжения — положительным и отрицательным, отстоящими на временной интервал, равный длительности импульса (рис. 3.7).

Если известна реакция линейной цепи (ее отклик) на тестовые сигналы, то принцип суперпозиции позволяет найти сигнал на выходе цепи как суперпозицию (сумму или интеграл) отдельных откликов на те скачки или импульсы, коими представлен входной сигнал. Понятно, что реакция цепи на эти тестовые сигналы будет функцией времени, и следовательно, в данном случае уместно говорить об описании свойств цепи во временном представлении, или во временной области. Отклик цепи на единичный ступенчатый скачок называют переходной характеристикой, а отклик цепи на импульсную функцию — импульсной характеристикой. Рассмотрим эти формы описания цепи функциями времени и начнем с переходной характеристики.

Переходная характеристика, интеграл Дюамеля

Математической моделью ступенчатого скачка является функция единичного скачка (рис. 3.8), называемая также функцией Хевисайда. Ее обозначение — \(t). Функция Хевисайда, смещенная вправо по оси времени на интервал т, принимает вид 1(£ - т). Чтобы сформировать из функции единичного скачка ступенчатый перепад напряжения или тока, следует снабдить ее соответствующим сомножителем со значением 1 В или 1 А.

Итак, переходной характеристикой цепи (введем для нее обозначение hit)) будем называть

отклик (реакцию) цепи на единичный скачок \{t) напряжения или тока на входе цепи. Предполагается, что изначально в цепи нет запаса энергии, то есть в момент скачкообразного воздействия на цепь напряжения на емкостях и токи в индуктивностях равны нулю. В качестве отклика можно рассматривать как напряжение между полюсами, так и ток в ветви между ними. Отсюда вытекает, что переходная характеристика может обрести размерность сопротивления (если h(t) — напряжение, являющееся реакцией на единичный скачок тока) или проводимости (если h(t) — ток, являющийся реакцией на единичный скачок напряжения). Для таких переходных характеристик используют соответствующие наименования — переходное сопротивление и переходная проводимость.

В физическом плане несложно смоделировать подачу на вход цепи ступенчатого скачка напряжения, а следовательно, и получение переходных характеристик. Для этого нужно в некий момент времени, который удобно считать нулевым, под­ключить к входным полюсам цепи источник постоянной ЭДС со значением 1 В. В цепи произойдет переходный процесс — переход от состояния с нулевыми тока­ми и напряжениями во всех ветвях к состоянию установившихся токов и напряжений. Поведение напряжений и токов во времени отобразят переходные харак­теристики, вычисленные (измеренные) в разных участках цепи.

Можно по-другому построить подобный опыт — воздействовать на цепь генератором, формирующим периодическое прямоугольное напряжение, и наблюдать на осциллографе отклик на выходе цепи (рис. 3.9, а). При правильном выборе пе­риода входных колебаний, а именно, настолько большого, чтобы до появления каждого следующего перепада входного напряжения токи и напряжения в цепи практически приходили в состояние покоя, на осциллограмме выходного напряжения отобразится переходная характеристика (рис. 3.9, б).

Предположим, что известна переходная характеристика цепи, и пусть входным воздействием является напряжение известной формы u(t). Представим его совокупностью ступенчатых скачков, например, так, как показано на рис. 3.6, а. Тогда в момент времени т перепад напряжения можно записать в виде: Дм = и'(т)Ат.

Здесь и' (т) = —. Отклик на такой скачок можно выразить через переходную l dt Л=,

функцию. В момент времени t он будет равен Аи -h{t-x). Чтобы получить совокупный отклик цепи (обозначим его v{t)) на известное входное воздействие, следует просуммировать отдельные отклики. Устремив интервалы разбиения функции входного напряжения к нулю, придем к бесконечной сумме бесконечно малых величин. А именно, к интегралу следующего вида:

Этот интеграл называют интегралом Дюамеля. Он позволяет выяснить форму сигнала на выходе цепи, переходная характеристика для которой известна. Формула (3.1) написана в предположении, что до нулевого момента времени входное воздействие отсутствовало (u(t) - 0 при t < 0). Заметим, что первое слагаемое в формуле представляет собой отклик на скачок входного напряжения при t= 0.

Выполняя замены переменных и используя свойство коммутативности приведенной интегральной формы, можно получить другие формулы для интеграла Дюамеля:

Их удобно иметь в виду, — при решении конкретной задачи можно подобрать формулу, которая при заданном сигнале потребует меньших вычислений.