Краткая теория. 1.1.Закрепление лекционного материала по теории теплопроводн

ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЙ СПЕЦПРАКТИКУМ

Работа №11

 

РАСЧЕТ ФАКТОРОВ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

ПРИ ОХЛАЖДЕНИИ ПЛАСТИНЫ

 

Цель работы

1.1.Закрепление лекционного материала по теории теплопроводности.

1.2. Приобретение навыка расчета сложных функций, определяющих расход тепла, а также использования графика зависимости θ = f (Fo, Bi).

 

Краткая теория

Рассматривается процесс нестационарной теплопроводности в неограниченной пластине толщиной . Начальная температура пластины постоянна по всему сечению, . В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой , . Между ограничивающими поверхностями и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Требуется найти распределение температуры по толщине пластины, а также удельный тепловой поток.

Уравнение нестационарной теплопроводности для бесконечной пластины имеет вид:

, , , (1)

где - коэффициент температуропроводности, λ; – коэффициент теплопроводности материала, с, ρ; - его удельная теплоёмкость и плотность соответственно.

Начальные условия: , .

Граничные условия 3-го рода:

при ,

при .

Граничные условия 3-го рода имеют следующий физический смысл: количество теплоты, подходящее к поверхности пластины за счёт теплопроводности, отдаётся в окружающую среду за счёт теплоотдачи по закону Ньютона.

Начало координат помещается в середине пластины. Задача симметричная. Введём безразмерные переменные:

, . (2)

Уравнение теплопроводности примет вид:

. (3)

Здесь - критерий Фурье – безразмерное время в задачах нестационарной теплопроводности. Критерий Фурье характеризует соотношение между скоростью изменения тепловых условий в окружающей среде и скоростью перестройки поля температуры внутри рассматриваемого тела, которая зависит от размеров тела и коэффициента его температуропроводности а.

Граничные условия в безразмерных переменных будут:

при ,

при .

Здесь - критерий Био- критерий краевого подобия ( - коэффициент теплоотдачи с поверхности тела в окружающую среду).

Начальные условия: при .

Уравнение решается методом разделения переменных, решение ищется в виде произведения двух функций – только от координаты и только от времени:

. (4)

Подставим (4) в (3):

. (5)

Левая часть равенства (5) зависит только от , т.е. от времени τ;, или может быть постоянной, но не зависит от координаты. Правая часть зависит только от координаты или может быть постоянной, но не зависит от времени. Равенство (5) должно выполняться при любых значениях координаты и времени. Это возможно только в том случае, если правая и левая части равенства равны некоторой постоянной величине р.

.

Отсюда получаем систему двух уравнений:

, (6)

.

Решением первого уравнения является экспоненциальная функция:

, , , , .

Постоянная р выбирается из физических соображений. Для тепловых процессов, стремящихся к температурному равновесию, когда по истечении длительного промежутка времени () должно установиться определённое распределение температуры, р должно быть отрицательной величиной. Если , то при длительном промежутке времени температура будет больше любой наперёд заданной величины, т.е. , что противоречит физическому смыслу задачи. Итак, . Пусть . Тогда .

Частное решение второго уравнения системы (6) - гармоническая функция:

.

Тогда решение уравнения (4) будет иметь вид:

. (7)

Так как задача симметричная, в решении должна быть только чётная функция (), следовательно, В = 0.

Из граничных условий находим μ:

при .

Подставим в граничные условия формулу (7), (учитывая, что В = 0):

.

Отсюда получаем характеристическое уравнение:

,

которое решается, например, графически.

Из анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении существует бесконечное множество решений; - корни характеристического уравнения.

Тогда выражение для примет вид:

. (8)

Коэффициенты в выражении (8) находятся из начальных условий:

при . Тогда (8) преобразуется к виду:

. (9)

Используем вспомогательные интегралы:

при ,

при .

Помножим левую и правую части формулы (9) на и проинтегрируем от -1 до 1. От суммы останется одно слагаемое, когда m = n:

.

Тогда имеем:

. (10)

В итоге решение уравнения (3) примет вид:

. (11)