Теорема 1

КУРСОВИЙ ПРОЕКТ

з дисципліни «Моделювання систем»

на тему: «Моделювання систем масового обслуговування»

Допущений до захисту Виконав:

Р. студент ІІІ курсу, групи КНСК 12 Захищений Спеціальність 6.050101

Романчук Я.А.

Р.

Керівник проекту: Коваль Т.В.

Київ-2012

Зміст

Вступ. 3

Теоретична частина. 4

Моделювання, основні його задачі. 4

Математичне введення в теорію ланцюгів Маркова. (Markov’schain). 7

Системи масового обслуговування. 11

Практична частина: 15

Завдання №1. 15

Завдання №2. 17

Завдання № 3. 22

Висновок. 27

Список використаної літератури. 29

Додатки: 30

Додаток 1. 30

Додаток 2. 31

 

 

 

Вступ

Аналітичні методи дослідження операцій здаються на перший погляд універсальними засобами для моделювання різноманітних явищ і процесів, які існують в житті. Але це не так, оскільки вони є надзвичайно динамічними, складними, різноманітними. Виходом з такого положення може здатися застосування математичних моделей, але за допомогою них не завжди можна вирішувати усі завдання які постають перед нами. Математичні моделі які можуть бути реалізовані за допомогою ефективних обчислювальних методів, є надто спрощені, а отже не адекватні реальним процесам. Що ж до адекватних математичних моделей то їх здебільшого не можна реалізувати через труднощі обчислювального характеру. У такому разі є сенс застосувати машинну імітацію, що полягає в моделюванні на ЕОМ реальної виробничої чи економічної системи.

Машинна імітація дає змогу користувачеві проводити такі експерименти, які з існуючими реальними системами були б не можливі. Такий метод набуває сьогодні особливої ваги, насамперед як інструмент удосконалення управління економікою та її галузями в межах усієї України. Є всі підстави стверджувати, що машинна імітація – один з найзагальніших та найпотужніших методів прикладного системного аналізу. Адже з допомогою імітаційних моделей системи розкривається сутність відповідних явищ і процесів за умови, що натуральні досліди в реальному середовищі на реальних об’єктах виключаються.

 

 

Теоретична частина.

Моделювання, основні його задачі.

Моделювання – як процес полягає у відтворенні властивостей тих чи інших об’єктів, предметів і явищ за допомогою абстрактних об’єктів та описів у вигляді зображень, планів, систем рівнянь, алгоритмів або програм.

Модель – це умовний образ об’єкта або системи, який служить для відображення співвідношень між людськими знаннями про об’єкт і безпосередньо цим об’єктом.

У процесі моделювання відбувається заміщення об’єкта – оригінала його моделлю і вивчення властивостей об’єкта шляхом дослідження властивостей моделі. Об’єктом може бути природна або штучна система. Під впливом зовнішніх дій проявляються властивості об’єкта. Характеристики У0 – кількісна міра властивості об’єкта. Кожен параметр має певну структуру і принципи, які його відображають. Параметр має підмножину параметрів.

Дослідника цікавлять тільки певні характеристики об’єкта при конкретних зовнішніх діях. Заміщення одного об’єкта іншим правомірне, якщо ті характеристики оригіналу і моделі, які цікавлять дослідника, визначають однотипними множинами параметрів і пов’язані однотипними залежностями між параметрами.

Модель, за допомогою якої описують систему, може містити у собі тільки основні характеристики системи, інші, які не чинять суттєвого впливу на функціонування системи, відкидаються, щоб не ускладнювати процес моделювання. У більшості випадків вважається, що модель складається з трьох основних блоків: вхід, система, вихід. Для того щоб успішно моделювати роботу системи необхідно знати два з цих блоків.

Загалом, модель є абстрактним або формально описаним об’єктом або системою, відображає співвідношення між людськими знаннями про об’єкт і безпосередньо сам об’єкт. Модель, за допомогою якої описують систему, може містити у собі тільки основні характеристики системи, інші, які не чинять суттєвого впливу на функціонування системи, відкидаються, щоб не ускладнювати процес моделювання. У більшості випадків вважається, що модель складається з трьох основних блоків: вхід, система, вихід. Для того щоб успішно моделювати роботу системи необхідно знати два з цих блоків. Для проведення моделювання можуть використовуватися різні методи:

Аналітичні методи – передбачають існування у дослідника деякої аналітичної моделі, яка дасть змогу зменшити затрати на дослідження.

Чисельні методи – їх використання передбачається у тих випадках, коли є неможливим застосування аналітичних моделей. Передбачають застосування статистичних методів.

Якісні методи – з допомогою цих методів можна оцінювати асимтотичні значення величин, які визначаються в процесі моделювання і дозволяють оцінити поведінку системи в цілому.

Найбільш ефективним із них є аналітичний метод, тому його можна розглянути більш детально.

Аналітичний метод моделювання полягає у визначенні формул, які з певною точністю описують роботу системи. Для визначення необхідних нам даних про систему відбувається підстановка значень аргументу під кожен з випадків. Даний метод може застосуватись до відносно нескладних систем. Але більшість моделей,які описують реальні системи, є занадто складними і тому за допомогою цього методу можна тільки попередньо оцінити різноманітні варіанти, попередньо значно ідеалізувавши систему.

Існує декілька видів моделювання. Серед них за різними показниками можна виділити наступні:

В залежності від характеру досліджуваних процесів у системі усі види моделювання можуть бути розділені на детерміновані і стохастичні, статичні і динамічні, дискретні, безперервні і дискретно-безперервні.

Детерміноване моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, у яких передбачається відсутність усяких випадкових впливів;

Стохастичне моделювання відображає ймовірністні процеси і події. У цьому випадку аналізується ряд реалізацій випадкового процесу й оцінюються середні характеристики, тобто набір однорідних реалізацій;

Статичне моделювання служить для опису поводження об'єкта в який-небудь момент часу;

Динамічне моделювання відбиває поводження об'єкта в часі;

Дискретне моделювання служить для опису процесів, що передбачаються дискретними, відповідно безперервне моделювання дозволяє відбити безупинні процеси в системах, а дискретно - безперервне моделювання використовується для випадків, коли хочуть виділити наявність як дискретних, так і безупинних процесів.

У залежності від форми представлення об'єкта можна виділити уявне і реальн е моделювання:

Уявне моделювання часто є єдиним способом моделювання об'єктів, які або практично не можливо реалізувати в заданому інтервалі часу, або які існують поза умовами, можливими для їхнього фізичного створення. Наприклад, на базі уявного моделювання можуть бути проаналізовані багато ситуацій мікросвіту, що не піддаються фізичному експерименту.

При реальному моделюванні на базі представлень людини про реальні об'єкти створюються різні наочні моделі, що відображають явища і процеси, що протікають в об'єкті, використовується можливість дослідження різних характеристик або на реальному об'єкті цілком, або на його частині. Такі дослідження можуть проводитися як в об'єктах, що працюють у нормальних режимах, так і при організації спеціальних режимів для оцінки характеристик, які цікавлять дослідника

Моделі можна розділити на:

1 аналогові – ґрунтується на застосуванні аналогій різних рівнів.

2 зображувальні можуть бути у вигляді тексту, який описує систему,блок-схем, графів, таблиць. Зображувальні моделі можуть використовуватись цю фазу попереднього аналізу або дослідження.

3 математичні(аналітичні) – формалізуються у вигляді математичних виразів опису системи:

1). Оператори переходів і виходів;

2). Цільова функція;

3). Обмеження, що виконує опис параметрів стану системи;

4). Опис входів-виходів системи.

4 імітаційні – алгоритм опису системи у вигляді програм для ЕОМ;

5 діалогові – це людино-машинна система, яка дозволяє дослідникові в процесі моделювання, проведення експерименту, вносити певні значення в систему в режимі взаємодії з ЕОМ.

Адаптивні моделі передбачають присутність механізму адаптації(настройки), що використовується для надходження нової інформації в деякий момент керування.

В загальному випадку для побудови моделі використовують фізико-математичний аналог явищ,експеримент-ідентифікацію.

Основні етапи технології моделювання:

· постановка мети моделювання;

· розробка концептуальної моделі;

· підготовка вихідних даних;

· розробка математичної моделі;

· вибір методів моделювання;

· вибір засобів моделювання;

· перевірка адекватності і корегування моделі;

· планування експериментів з моделлю;

· аналіз результатів моделювання.

Крім того можна зустріти ще і такі етапи моделювання, як розробка програмної моделі (цей етап слідує за етапом вибір засобів моделювання); моделювання на обчислювальній системі “комп’ютер” (він слідує після етапу планування).

Математичне введення в теорію ланцюгів Маркова. (Markov’schain)

Дискретні ланцюги Маркова. Говоритимемо, що заданий дискретний ланцюг Маркова, якщо для послідовності випадкових величин виконується рівність .

Це означає, що потік випадкових величин визначається тільки вірогідністю переходу від попереднього значення випадкової величини до подальшого. Знаючи початковий розподіл вірогідності, можна знайти розподіл на будь-якому кроці. Величини in можна інтерпретувати як номери станів деякої динамічної системи з дискретною безліччю станів (типу кінцевого автомата). Якщо вірогідність переходів не залежить від номера кроку, то такий ланцюг Маркова називається однорідним і її визначення задається набором вірогідності .

Для однорідного Марківського ланцюга можна визначити вірогідність переходу із стану i в стан j за m кроків

Ланцюг Маркова називається тією, що не приводиться, якщо кожний її стан може бути досягнутий з будь-якого іншого стану. Стан i називається поглинаючим, якщо для нього pii =1.

Стан називається поворотним, якщо вірогідність попадання в нього за кінцеве число кроків рівна одиниці. В іншому випадку стан відноситься до неповоротних. Поворотний стан може бути періодичним і аперіодичним залежно від наявності кратних кроків повернення. Введемо вірогідність повернення в стан i через n кроків після відходу з цього стану:

Вони дозволяють визначити середнє число кроків або, інакше кажучи, середній час повернення: .

Стан називається поворотним нульовим, якщо середній час повернення в нього рівно нескінченності, і поворотним ненульовим, якщо цей час звичайно. Відомі дві важливі теореми:

Теорема 1

Стани ланцюга Маркова, що не приводиться, або всі неповоротні, або всі поворотні нульові, або всі поворотні ненульові. У разі періодичного ланцюга всі стани мають один і той же період.

Друга теорема розглядає вірогідність досягнення станів в стаціонарному (тобто не залежному від початкового розподілу вірогідності) режимі. Відповідний розподіл вірогідності також називають стаціонарним. Знаходження стаціонарного розподілу вірогідності досягнення станів одна з основних задач теорії телетрафіка.