ИнтеграловПриведем один из способов вычисления определенных интегралов методом Монте—Карло— способ усреднения подынтегральной функции. Требуется найти оценку I 1 * определенного интеграла Рассмотрим случайную величину X, распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, b)с плотностью f (х) = 1 / (b — а). Тогда математическое ожидание
Отсюда
Заменим математическое ожидание
где xi— возможные значения случайной величины X. Так как величина Х распределена равномерно в интервале (а, b)с плотностью f (x) =1/ (b—а), то хi, разыгрывают по формуле Пример. Наитии: а) оценку I 1 * определенного интеграла Решение. Используем формулу
По условию a =1, b ==3, φ;(х) =х+ 1. Примем для простоты число испытаний n =10. Тогда оценка
Результаты 10 испытаний приведены в табл. 36. Случайные числа взяты из приложения 9 с тремя знаками после запятой. Таблица 36
Сложив числа последней строки таблицы, находим Искомая оценка интеграла I 1 * =2·(29,834/10) ==5,967. б) Найдем абсолютную погрешность, приняв во внимание, что | I- I 1 * |=6—5,967=0,033. в) Найдем дисперсию усредняемой функции φ;(Х) =Х +1, учитывая, что случайная величина Х в интервале интегрирования (1,3) распределена равномерно и ее дисперсия D (X) = (3—1)2/12 (см. гл. XII, § 1, пример 2): σ;2 =D (X +1)= D (X)=1/3. г) Найдем минимальное число испытаний, которые с надежностью 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ;=0,1. Из равенства Ф (t)=0,95/2=0,475 по таблице приложения 2 находим t =1,96. Искомое минимальное число испытаний
|
его оценкой—выборочной средней, получим оценку I 1 * искомого интеграла:
(см. гл. XXI, § 7, правило 2). Отсюда хi=а+ (b—а) ri.
б) абсолютную погрешность | I-I 1 * |; в) минимальное число испытаний, которые с надежностью γ= 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ;=0,1.
