Випадковi величини. Властивостi функцiй розподiлу.

Нехай маємо ймовірносний простір (, F, P). - деяка функція, визначена на .

Озн. -буде вимірною функцією, якщо

, де F алгебра.

Озн. Вимірна функція - випадкова величина,

.

Озн. F(x)= - функція розподілу випадкової величини .

Властивості функцій розподілу.

1. F(x) – невід’ємна

2. F(x) - монотонно неспадна.(x1>=x2 => F(x1)>=F(x2))Справді:

Отже

3. F(x) - неперервна зліва. Тобто F(x-0) = F(x)

4. Нормованою F(- ) = 0, F(+ ) = 1.

Дискретні випадкові величини.

Нехай <W, Á,R>- ймовірнісний простір. Дискретноювипадковою величиною називається функція x(w) на W, яка набуває скінченне або зліченне число значень х₁, х₂, …, х_n, … і є вимірною відносно s- алгебри Á. Це означає, що для кожного х_і{ w: x(w)=x} ÎÁ (1).Дійсно, якщо для функції x(w) має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно Á, так як для кожного дійсного х { w: x(w)<x}= { w: x(w)=x_і} ÎÁ. Крім того, якщо x(w) вимірна відносно s- алгебри Á, то за Теоремою 1 для кожного дійсного х { w: x(w)=x } ÎÁ. Таким чином, якщо x(w)- дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі <W, Á,R>, яка приймає значення х₁, х₂, …, х_n, …, то для кожного n визначена ймовірність Р_n=Р{ w: x(w)=x_n} Нехай x(w) – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х₁,…, х_і,…. Набір чисел Р{w:x(w)=x_i}=p_i(i=1,2,…) називають розподілом випадкової величини x. Зрозуміло, що р_і³ 0, .

Функція розподілу дискретної випадкової величини x(w) визначається рівністю

Сумісний розподіл випадкових величинx(w) і h(w). Нехай x(w) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х₁, х₂,…, х_і,…,h(w) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень y₁, y₂,…, y_і,…. Набір чисел Р{w:x(w)=x_i, h(w)=y_i}=p_ij(i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається сумісним розподілом випадкових величин x і h (розподілом випадкового вектора (x, h)). Мають місце такі твердження:

а) р_ij³0,

б) де {p_i} розподіл x(w), {q_i} – розподіл h(w).

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини x і h
н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j

P{x(w)=x_i, h(w)= y_i} = P{x(w)=x_i} · P{h(w)= y_i}.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай x(w) – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х_і з імовірностямир_і(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд S½х_і½р_і збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді-

в а н н я м випадкової величини x(w) називається сума ряду М x(w) = Якщо S½х_і½р_і=+¥, то кажуть, що випадкова величина x(w) не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини x(w) визначається рівністю

Dx=M[x- Mx]²= Mx²-(Mx)²=

Властивості дисперсії.

1. Dx=0 x=соnst;

2. Dx=

3. D(Cx)=c² Dx;

4. D(x C)= Dx.

5. Якщо та незалежні випадкові величини, то D( )= D +D .

Коєфіцієнтковаріаціївипадкових величин та це: cov(x, h)=M(x-Mx)(h-Mh).

Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин x і h називаються

Мають місце такі твердження:

а) ½r(x, h)½£ 1;

б) якщо x і h незалежні, то r(x, h)=0;

в) якщо ½r(x, h)½=1, то з імовірністю одиниця h=аx+b, де а і b – деякі сталі.