Функция распределения и ее свойства.

Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для всех случайных величин (как дискретных, так и недискретных) является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x:

F(x)=P{X<x}.

(F1) она не убыва ет: если то ; Доказательство свойство: для любых чисел

X1<X2 событие влечет событие т.е Но вероятность монотонная функция событий, поэтому

(F2) cуществуют пределы и Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции. Остается лишь доказать равенства

, и Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности, так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов Докажем, что при . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий: Пересечение В всех этих событий состоит из тех и только тех w, для которыхE(w) меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода w значениеE(w) вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий Bn не содержит элементарных исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры,

при

Покажем, что при т.е . Обозначим черезBn собитие События Bn вложены: а пересечение B этих событий снова пусто — оно означает, что E больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, (F3) она в любой точке непрерывна слева:

Достаточно доказать, что при Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности: