Суммирование случайных погрешностей

Если из распределения вычесть систематическую составляющую погрешности, т.е. перенести начало координат в центр распределения, то получим центрированное распределение. В таком случае суммирование погрешностей измерительного канала или результата измерения сводится к суммированию центрированных случайных величин. Каждая случайная погрешность имеет свой закон распределения плотности вероятности. В процессе суммирования случайных величин, возникают сложности, вызванные тем, что законы распределения величин резко изменяют свою форму.

Закон распределения суммы независимых случайных величин, имеющих распределения p₁(x) и p₂(x), называется композицией и выражается интегралом свертки:

При реализации операции свертки двух функций вводится временная переменная по которой ведется интегрирование и которая исключается из окончательного результата. Одна из двух функций берется в том виде, как она исходно задана – p₁(z), а для другой, во-первых, изменяется направление оси абсцисс и, во-вторых, производится сдвиг функции по этой оси на некоторое значение аргумента x. Затем эти две функции перемножают, и их произведение интегрируют, т.е. находят площадь под кривой, соответствующей произведению функций. После интегрирования временная переменная исключается, а полученный интеграл и является значением свертки для заданного значения аргумента x. Аргумент x представляет собой сдвиг между исходными функциями. Образование свёртки удобно рассматривать на основе геометрической интерпретации. Первая функция остаётся в исходном виде. Изменению направления интегрирования второй функции соответствует её зеркальное отражение относительно вертикальной оси проходящей через начало коодинат. Отрицательному сдвигу x < 0 соответствует сдвиг второй функции влево, а положительному сдвигу x > 0 соответствует сдвиг второй функции вправо от начального зеркального положения. При определении свёртки изменяют значение сдвига x, за счёт чего вторая функция «проплывает» под первой, а сама свёртка является функцией сдвига x.

Рассмотрим композицию двух равномерных распределений с одинаковой шириной a, которая является треугольной (так называемое распределение Симпсона).

Распределение p₁(x) оставляем в исходном виде, а распределение p₂(x) модифицируем. Распределение p₂(x) четно-симметричное, следовательно, изменение направления интегрирования приводящее к зеркальному отражению распределения относительно вертикальной оси, не вносит ни каких изменений.

В ходе поиска свертки нужно вычислять интеграл от произведения функций. Если подъинтегральная функция имеет простую форму - прямоугольную, треугольную, трапециидальную, то задача определения интеграла значительно упрощается. Вместо его вычисления нужно определить площадь полученной геометрической фигуры.

Результирующий закон распределения плотности вероятности p(x), естественно, имеет нормированную площадь, что позволяет просто определить его параметры

Аналогичным образом получают композицию при суммировании двух равномерно распределенных погрешностей, имеющих разную ширину распределений a и b. Результирующая погрешность имеет распределение в форме трапеции. При суммировании равномерного и нормального распределений подъем и спад по краям результирующего распределения, происходит по кривой интегрального закона нормального распределения. Композиция прямоугольного и треугольного распределений при a > b имеет подъем и спад по краям результирующего распределения, который происходит по кривой интегрального закона треугольного распределения, т.е. по параболе.

В случае симметричных законов распределения, композиция тоже является симметричной. При этом максимум результирующего закона распределения получают в случае, когда исходные распределения расположены точно друг под другом, их центры совпадают, т.е. когда x = 0. В этом случае площадь взаимного перекрытия распределений максимальна.

Некоторые результирующие законы распределения могут иметь плоский участок максимума, когда один из законов равномерный, а второй имеет размах по оси x меньше равномерного закона, например, композиции двух равномерных или равномерного и треугольного законов. Это объясняется тем, что в определенном диапазоне изменения x площадь взаимного перекрытия распределений не изменяется. Значение максимума свертки определяют с учетом условия S = 1.

Если законы распределения исходных величин не симметричны, то образование свертки происходит аналогично, но результирующий закон будет несимметричен по форме или по положению на оси x.

С точки зрения теории вероятностей все составляющие погрешности могут быть описаны своими законами распределения, а их совместное действие – соответствующим многомерным законом распределения или результирующим одномерным законом распределения. Однако, операции с такими многомерными законами крайне сложны уже для 3¸4 составляющих, а при десятках составляющих невыполнимы.

Поэтому на практике в ходе суммирования погрешностей, стараются не идти по пути определения многомерных законов распределения. Распространенным методом суммирования случайных погрешностей является использование числовых оценок составляющих погрешностей, которые позволяют найти соответствующие числовые оценки результирующей погрешности без определения результирующих законов распределения.

Рассмотрим наиболее распространенные практические способы суммирования случайных погрешностей.