Метод циклов
Создание абсолютной термодинамической шкалы температур не единственный результат применения принципа (теоремы) Карно. На этом принципе основан метод циклов. Суть его в следующем. Исследуемая система используется в качестве рабочего вещества в обратимой машине Карно. Разница между температурами нагревателя и холодильника берется бесконечно малой. Применение принципа Карно позволяет получить информацию о системе. В качестве примера рассматривается физически однородное тело, состояние которого характеризуется двумя параметрами. Пусть это будут T и V. Внутренняя энергия тела есть однозначная функция этих параметров: U = U (T, V). Считается известным термическое уравнение состояния (8.1). Тогда принцип Карно позволяет найти зависимость внутренней энергии U тела от его объема V. Для этого тело используется как рабочее вещество в произвольном обратимом цикле Карно. Единственное ограничение на цикл: температуры нагревателя и холодильника различаются на малую величину Δ T (Δ T = T 1 – T 2 ® 0).
Итак, температура T 1 и, следовательно, изотерма 1–2 произвольные (рис. 11). Точки 1 и 2 на ней также случайные. В соответствии с принципом Карно для цикла 1234 имеет место соотношение
A / Q 1 = Δ T / T 1.
Работа A равна площади цикла. С учетом того, что изотермы 1–2 и 4–3 близки (Δ T мало), эта площадь при вычислении работы заменяется на площадь криволинейного четырехугольника 123'4', где стороны 1–4' и 2–3' являются изохорами. Эта замена вносит пренебрежимо малую погрешность (искомая площадь – величина первого порядка малости по Δ T, у криволинейных треугольников 144' и 233' площадь – второго порядка малости, а они к тому же заменяются один на другой). В результате
A =
Если выражение под интегралом поделить и умножить на Δ T, то опять же с точностью до малых второго порядка
A» Δ T
При расширении по изотерме 1–2 (T = T 1, dV > 0) к телу подводится теплота
Q 1 =
Бесконечно малое приращение внутренней энергии из-за столь же малого изменения объема можно представить в виде
dU (T 1, V) = (¶ U / ¶V) TdV,
так что Q 1 =
Подстановка A и Q 1 в исходное уравнение для бесконечно малого цикла Карно дает (после освобождения от знаменателей и сокращения на Δ T)
При произвольном выборе изотермы 1–2 и начальной и конечной точек на ней интегралы равны, если равны подынтегральные выражения:
T (¶ p / ¶ T) V = (¶ U / ¶ V) T + p,
или
(¶ U /¶ V) T = T (¶ p / ¶ T) V – p. (26.1)
Индекс у температуры опущен в силу ее произвольности. Данная формула решает поставленную задачу. Используя эту формулу, разности теплоемкостей cp и cV из соотношения (15.4) можно придать вид
cp – cV = T (¶ p / ¶ T) V ×(¶ V / ¶ T) p. (26.2)
Итак, если термическое уравнение состояния известно, то можно найти зависимость внутренней энергии от объема, а используя (26.2), вычислить разность теплоемкостей cp и cV. Для идеального газа термическое уравнение состояния имеет вид pV = ν RT и
(¶ U / ¶ V) T = 0, а cp – cV = R.
Здесь теплоемкости cp и cV молярные. Таким образом, для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объема (закон Джоуля) и справедливо соотношение Майера.
|
» 
.
.
.
.
.
