Решение. 1. Находим образы векторов :

1. Находим образы векторов :

Итак, образы базисных векторов базиса имеют вид

Для составления матрицы линейного оператора в базисе найдем коэффициенты разложения векторов через базисные векторы :

Составляем матрицу линейного оператора, столбцами которой являются коэффициенты разложения векторов через базисные векторы :

.

2) Для нахождения ядра

оператора необходимо решить однородную систему уравнений

с основной матрицей . Решение проводим методом Гаусса.

Выписываем матрицу и при помощи элементарных преобразований приводим ее к ступенчатому виду:

Переходя от ступенчатой матрицы к системе уравнений, получим

Так как ранг ступенчатой матрицы равен 2, система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных (основных) переменных выберем переменные (при этом является свободной переменной). Выражая базисные переменные через свободную , получим

Итак, ядро оператора состоит из всех векторов вида

.

Взяв , получим базис в ядре, состоящий из одного вектора

.

Так как базис ядра состоит из одного вектора, то размерность ядра (дефект оператора) равен 1:

Размерность образа оператора (ранг оператора) равна

.

Для нахождения базиса образа достаточно взять из векторов любые два вектора, у которых координаты (компоненты) не пропорциональны. Например, базисными векторами в образе являются векторы