Свойства комплексных чисел

Глава 1. Комплексные числа

Основные понятия

 

Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия. Первыми появились натуральные числа N, получаемые при счете предметов. Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль. Целые и дробные числа образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида х ² = 3, в связи с чем появились иррациональные числа I. Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R. В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка. Но на множестве R нет возможности решить уравнение вида х ² = – а ². Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Дж. Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Р. Декарт, в 1777 году Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. В течение 17 – 18 веков продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, их геометрического истолкования. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.

Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе. Первое их использование – в теории дифференциальных уравнений и в теории гидродинамики.

 

 

Определение 1. Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел (x, y), для которых определены равенства и операции сложения и умножения по следующим правилам:

1) (x ₁, y ₁) = (x ₂, y ₂) тогда и только тогда, когда x ₁ = x ₂, y ₁ = y ₂,

2) (x ₁, y ₁) + (x ₂, y ₂) = (x ₁ + x ₂, y ₁ + y ₂),

3) (x ₁, y ₁) · (x ₂, y ₂) = (x ₁ x ₂ – y ₁ y ₂, x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁).

 

Обозначение комплексного числа z = (x, y), множества всех комплексных чисел – С.

Свойства комплексных чисел

1. Переместительный закон сложения: z ₁ + z ₂ = z ₂ + z ₁

2. Ассоциативный или сочетательный закон: z ₁ + (z ₂ + z ₃) = (z ₁ + z ₂) + z ₃

3. Переместительный закон умножения: z ₁ · z ₂ = z ₂ · z ₁

4. Распределительный закон: z ₁ · (z ₂ + z ₃) = z ₁ z ₂ + z ₁ z ₃

Операции вычитания и деления вводятся как обратные к операциям сложения и умножения:

– разностью двух чисел z ₁ и z ₂ называется число z ₃ такое, что сумма z ₃ и z ₂ равна z _1, т.е. z ₁ – z ₂ = z ₃: z ₁ = z ₂ + z ₃,

– частным двух чисел z ₁ и z ₂ называется число z ₃ такое, что произведение z ₃ и z ₂ равно z _1, т.е. : z ₁ = z ₂ · z ₃.

Определение 2. Комплексным нулем называется число z = (0, 0).

Для каждого комплексного числа вида z = (x, 0)справедливо, что z = (x, 0) = х, где .

Следовательно, любое действительное число можно представить в виде комплексного числа, т.е

Определение 3. Сопряженным к комплексному числу z = (x, y) называется комплексное число

Определение 4. Мнимой единицей называется комплексное число z = (0, 1) = i.

i ² = – 1.

Пояснение:

i ² = (0, 1) · (0, 1) = (по правилу 3 определения 1) = (0·0 –1·1, 0·1 + 1·0) = (–1, 0) = (по определению (x, 0) = х) = – 1.

Для каждого комплексного числа вида (0, y) справедливо, что (0, y) = iy, где , так как (0, y) = (0, 1) · (y, 0) = iy.

Парой действительных чисел (x, y) обозначаются координаты точки на плоскости или координаты вектора, т.е. между множеством векторов на плоскости и множеством комплексных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие: .

При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Определение 5. Действительной частью комплексного числа z = (x, y) называется действительное число х.

Обозначение: x = Re z (от латинского Realis).

Определение 6. Мнимой частью комплексного числа z = (x, y) называется действительное число y.

Обозначение: y = Im z (от латинского Imaginarius).

Re z откладывается на оси (Ох), Im z откладывается на оси (Оy), тогда вектор , соответствующий комплексному числу z = (x, y) – это радиус-вектор точки (Re z, Im z) (рис. 1).

 

Определение 7. Плоскость, точкам которой поставлено в соответствие множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостьюили плоскостью Гаусса.

Обозначение – (z), С.

Определение 8. Модулем комплексного числа z = (x, y) называется длина вектора : , т.е.

Определение 9. Аргументом комплексного числа z = (x, y) называется угол между положительным направлением оси (Ох) и вектором : .

Из рисунка 1 видно, что .

Определение 10. Главным значением называется то его значение, которое удовлетворяет неравенству

Аргумент комплексного числа находится по формуле:

Замечание 1. Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Всякий угол, отличающийся от на слагаемое, кратное , обозначается Arg ,

Замечание 2. В некоторых задачахглавным значением можно взять то его значение, которе удовлетворяет неравенству