О синтаксической связности #
I. 1. Вследствие открытия антиномий и благодаря способу ихрешения проблемы синтаксиса языка стали важнейшими проблемамилогики (это слово здесь понимается настолько широко, чтоохватывает также метатеоретические исследования). Среди этихпроблем наибольшее значение для логики имеет вопроссинтаксической связности. В этом вопросе речь идет о нахожденииусловий, при выполнении которых словесное образование,составленное из простых осмысленных выражений, являетсяосмысленным выражением, имеющим единое значение, хотя оно исоставлено из значений отдельных выражений, составивших его.Такое сочетание выражений является синтаксически связанным. Так, например, сочетание выражений "Иван любит Анну"построено синтаксически связанным образом из осмысленныхвыражений русского языка* и само принадлежит к осмысленнымвыражением русского языка. Тогда как "может конь если хотя исветить" хотя и является сочетанием осмысленных слов русскогоязыка, однако ему не хватает синтаксической связности и оно неявляется осмысленным выражением русского языка. Существует несколько решений вопроса синтаксическойсвязности. Одним из таких решений является, например, теориятипов Расселла. Но особенно просто и удобно понятиесинтаксической связности удается выразить при помощиразработанной проф. Станиславом Лесьневским науки о категорияхзначения. Мы здесь будем основываться на результатах Лесьневского 1),а от себя предложим некоторую символику, которую в принципе можноприменить почти ко всем языкам и при помощи которой можнопостроить исчисление, позволяющее определить и изучитьсинтаксическую связность сочетания слов. 2. Понятие и термин "категория значения" первым ввелЭ.Гуссерль. В своем произведении "Логические исследования"Э.Гуссерль 2) замечает, что отдельные слова и составные выраженияязыка можно разделить на такие классы, что два принадлежащих кодному классу слова или выражения могут взаимно заменять другдруга в контексте, обладающим единообразным значением, причемизмененный контекст после этого не становится какой-тонесвязанной последовательностью слов и вообще не утрачиваетединообразного значения, тогда как два слова или выражения,принадлежащих к разным классам, этим свойством не обладают.Возьмем предложение "солнце светит" как пример контекста,обладающего единообразным значением. Если в этом предложении мызаменим слово "светит" словом "жарит", или "свистит", или"танцует", то получим из предложения "солнце светит" иныеистинные или ложные предложения, обладающие единообразнымзначением. Однако, если вместо "светит" подставим, например,"если" или "зеленеть", или "поскольку", то получимпоследовательность безсвязных слов. Так охарактеризованные классыслов или выражений Гуссерль называет категориями значения. Определим это понятие несколько точнее: слово или выражениеА, взятое в значении x, и слово или выражение В, взятое взначении y принадлежат к одной и той же категории значений тогдаи только тогда, когда существует такое предложение (соотв.высказывательная функция) Sa, в котором А выступает в значении xи которое после замещения его компоненты А выражением В, взятом взначении y, при полном сохранении значений оставшихся слов исинтаксиса предложения Sa, преобразуется в выражение Sb, котороетакже является предложением (или высказывательной функцией). Лестница категорий значения является ближайшей родственницейупрощенной иерархии логических типов, хотя и в значительнобольшей степени разветвлена, и, в сущности, образует ееграмматическо-семантический эквивалент 3). Среди всех категорий значений можно выделить два вида,которые мы назовем подстановочными категориями и функторнымикатегориями (термин "функтор" введен Котарбинским, понятие итермин "подстановочная категория" - мною). К сожалению, мы неможем определить эти понятия достаточно точно. Однако нетруднопонять, о чем здесь идет речь. Термин "функтор" означает то же,что "знак функции". Таким образом, это "ненасыщенный" знак,"сопровождаемый кавычками". Функторные категории - это такиекатегории значения, к которым принадлежат функторы.Подстановочной категорией я буду называть такую категориюзначения, которая не является функторной категорией. Из приведенного выше определения категории значениянепосредственно следует, что два произвольных предложенияпринадлежат к одной и той же категории значения. Конечно,предложения не являются функторами, а поэтому категория значения,куда входят предложения, принадлежит к основным категориям. Кромекатегорий предложений могут быть также иные основные категории. УЛесьневского наряду с категорией предложений выступает толькоодна единственная основная категория, а именно, категория имен,причем к ней принадлежат как единичные имена, так и общие. Еслипозволительным будет сравнивать упрощенную теорию типов с теориейкатегорий значения, то нужно было бы в теории типов типпредложений и тип собственных имен отнести к основным категориям.Оставшиеся типы принадлежали бы к категории функторов. Кажется,что в обычном языке не все имена образуют одну единственнуюкатегорию значений. По нашему мнению, в обычном языке можно средиимен выделить как минимум две категории значения, а именно,категорию значения, к которой принадлежат единичные именаиндивидов, а также общие имена индивидов, поскольку они взяты insuppositione personali, и во-вторых, категорию значения общихимен, поскольку они выступают in suppositione simplici (т.е. какназвания универсалий). Если стремиться выразить понятие синтаксической связности вовсей полноте, то следовало бы ничего не предрешать о числе и видеосновных категорий значения и категорий функторов, поскольку онимогут быть различными в разных языках. Однако для простоты мыограничимся такими языками, в которых (как и у Лесьневского)выступают только две основные категории значения, а именно -категории предложений и имен. Кроме этих двух основных категорийзначения примем вслед за Лесьневским в принципе неограниченнуювверх и разветвленную иерархию функторных категорий, которыехарактеризу ются двояко: во-первых, числом и категорией значенияаргументов, а также их последовательностью, во-вторых, категориейзначения всего составного выражения, которое они образовываютсовместно со своими аргументами. Таким образом, например,функторы с одним именем как аргументом, образующие предложения,представляли бы одну замкнутую категорию значения, функторы,образующие предложение с двумя именами как аргументами,представляли бы иную категорию значения и т.д. Функторы, которыеобразовывали бы имя из одного имени как аргумента составили быеще одну категорию значения. Можно было бы в качестве отдельнойкатегории значения назвать функторы, образующие предложения иимеющие аргументом одно предложение (как например, знак ~ влогике) и т.д. 3. Мы принимаем, что определенная категория значения словаустанавливается посредством значения, которым обладает простоевыражение. Теперь в зависимости от категории значения, к которойпринадлежат простые выражения, снабдим их индексами. А именно,припишем простым выражениям, принадлежащим к категориипредложений, индекс "s", тогда как простым выражениям,принадлежащим к категории имен - индекс "n". Простым выражениям,не принадлежащим к какой-либо основной категории, а к категориифункторов, припишем индекс дроби, образованной из числителя изнаменателя таким образом, что в числителе окажется индекскатегории значения, к которой принадлежит выражение, составленноеиз знака функции и его аргументов, в знаменателе -последовательно категории значения, к которым принадлежатаргументы, с которыми функтор совместно образует осмысленноецелое. Так, например, выражение, которое из двух имен какаргументов образовывает предложение, получит индекс дроби s ----. nnТаким образом, каждая категория значения обладала бы характернымдля себя индексом. Иерархия категорий значений выражалась бы впоследовательности индексов следующего вида (далеко не полной): s s s s s s s s, n, ---, ----, ----,... ----, ----, -----,..., -----, n nn nnn s ss sss ns s --- s s s n n n n --,..., ---, -----,..., ---, ----,-----,..., ----- и т.д. sn s s s n nn sn s ---- -- -- ---- n n n n Для иллюстрации этой символики на примере возьмем какое-либопредложение логистики, например, ~p-->p.-->.p.Приписывая отдельным словам их индексы, получим: ~ p ---> p. --->. p s s s ---s --- s ---- s. s ss ss Если мы хотим применить символику индексов к обычному языку,то принятых (вслед за Лесьневским) категорий значения нам невсегда хватит, поскольку, как кажется, обычные языки много богачекатегориями значений. Кроме того, решение, к какой категориизначения следует отнести некоторое выражение, затруднено из-занепостоянства значений выражений. Вместе с тем временамипоявляется неуверенность, что следует понимать под единственнымвыражением. Однако как показывает следующий пример, в простых инедвухзначных случаях приведенный выше аппарат индексовдостаточно хорошо приспособлен к естественному языку: сирень пахнет очень сильно и роза цветет n s s s s n s ----- ---- --- ---- ---- n n n ss n ----- ---- s s --- --- n n ------ s --- n ---- s ---. n 4. В каждом осмысленном составном выражении некоторым образомотмечено, какие выражения входят как аргументы и к какимвыражениям, выступающим как функторы, они принадлежат. Еслифунктор имеет несколько аргументов, то должно быть показано,какой из этих аргументов является первым, какой вторым и т.д.,ибо последовательность аргументов играет существенную роль;различие между субъектом и предикатом или же между посылкой иследствием условного предложения является особенным случаем тоговажного различия, которое образует последовательность аргументов.Обобщенно говоря, эта последовательность не идентична внутреннемупорядку, в котором выступают аргументы в данном выражении; онавообще ни в коей мере не является чисто структурной, т.е. чистовнутренним делом, но основывается на свойствах всего выражения,вытекающих из значения. Только в символических языках и внекоторых языках естественных последовательности аргументовсоответствует их сугубо внутренний порядок. Для выражения всевозможных взаимных принадлежностей частейвыражения символические языки прибегают к условиям, касающимся"связывающей силы" различных функторов, к употреблению скобок ипорядку выражений. В естественном языке эта принадлежностьобозначается при помощи порядка выражений, их флективных форм,предлогов и знаков препинания. Состав слов, в котором эта принадлежность вообще илиполностью не обозначена, не имеет единообразного[einheitlichen] значения. В каждом сложном осмысленном выражении отношенияпринадлежности, возникающие между функторами и их аргументами,должны быть так сформированы, чтобы все выражения можно былоразложить на части таким образом, что одна из них являетсяфунктором (который сам может быть составным выражением), аоставшиеся части принадлежат ему как его аргументы. Такой функтормы называем главным функтором этого выражения (понятием главногофунктора и основной идеей его определения мы обязаныСт.Лесьневскому). В приведенном выше примере из логистики второйзнак импликации является главным функтором всего предложения, впримере с естественным языком слово "и" является главнымфунктором. Если можно разложить составное выражение на главныйфунктор и его аргументы, то о таком выражении мы говорим, что оносоставлено правильно [gut gegliedert]. Главный функтор выраженияи его аргументы назовем членами первой ступени этого выражения.Если члены первой ступени выражения А сами являются простымивыражениями, или, если, будучи составными выражениями, самиправильно составлены, и если при дальнейшем продвижении к членамэтих членов, и далее - к членам этих членов и т.д., короче: идя кчленам n-ой ступени можно прийти всегда или к простым выражениям,или к выражениям правильно составленным, то мы называем выражениеА насквозь [durchgehend] составленным правильно. Следует обратить внимание, что в естественном языке частопоявляются эллиптические выражения, вследствие чего в таком языкеможно встретить осмысленное составное выражение, не являющеесянасквозь составленным правильно, поскольку во вниманиепринимаются только explicite содержащиеся в нем выражения. Однакоможно легко получить насквозь правильно составленное выражение,если мысленно добавить опущенные слова. Более значимые трудностивозникают тогда, когда язык, например, немецкий, допускаетразделимые слова. Тогда нельзя привести критерий для одного словасугубо структурным образом. 5. Если сложное выражение является насквозь правильносоставленным, то действительно, необходимое условие выполняется,однако оно еще не достаточно, чтобы это выражение обладалоединообразным значением. Это условие должно быть дополненодругими. Чтобы насквозь правильно составленное выражение имелозначение, оно должно содержать взаимно соответствующие членыодной и той же ступени, относящиеся к себе как функторы иаргументы. Иначе, каждому члену n-ой ступени, который выступаеткак главный функтор всего выражения, или же как главный функторчлена (n-1)-ой ступени, и который является функтором, требующим всвоей категории значения столько-то и столько-то аргументов,принадлежащих к определенным категориям значения с тем, чтобывместе с ними образовывать осмысленное выражение, такому членудолжно быть сопоставлено в качестве его аргументов ровно столькоже членов n-ой ступени, принадлежащих к соответствующимкатегориям значения. Таким образом, например, члену,принадлежащему к категории значения, обозначенной индексом s --- ns(если он является главным функтором) должны, во-первых,соответствовать два аргумента, и во-вторых, первый аргументдолжен принадлежать к категории имен, а второй - к категориипредложений. Насквозь правильно составленное выражение, котороеудовлетворяет обоим выше приведенным условиям, назовем выражениемсинтаксически связанным. Эти условия можно еще иначе и более прецизиозносформулировать при помощи нашей символики индексов. С этой цельюмы должны ввести понятие показателя выражения, которое и объяснимсначала на примере. Возьмем, например, выражение p \/ p. --->. pи присоединим к отдельным простым выражениям их индексы.Получим: p \/ p. --->. p..........................(A) s s s----s ---- s. ss ssСейчас члены этого выражения упорядочим согласно следующемупринципу. Сначала напишем главный функтор всего выражения, затемпоследовательно первый, потом второй (возможно третий, четвертый ит.д.) аргумент. Тогда получим: ---->, p\/p, p............................(B) s s ----- s---s s. ss ss Если какой-то входящий в эту последовательность член все ещеостается составным выражением главного функтора и его аргументов,то этот член мы розкладываем на члены ближайшего высшего ряда иупорядочиваем их по тому же принципу, записывая сначала егоглавный функтор, затем первый, второй и т.д. аргументы этогофунктора. Для нашего примера мы получим: ---->, \/, p, p, p..........................(C) s s ---- ---- s s s. ss ss Если бы в этой последовательности нашелся еще один составленныйиз нескольких выражений член, то мы разложили бы его по тому жепринципу и продолжали бы так поступать до тех пор, покаместь неполучили бы в этой последовательности такие части, которые былибы только простыми выражениями. Последовательность простыхвыражений, входящих в состав данного составного выражения,упорядоченного выше описанным способом, мы называем ХАРАКТЕРНОЙ[eigentliche] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ выражений, входящих в составэтого выражения. Для нашего примера характернаяпоследовательность выражений оказалась достигнутой уже на второмшаге, т.е. (С) является характерной последовательностью выраженийдля выражения (А). Если сейчас от выражений, упорядоченныхсвойственной выражению (А) последовательностью, мы оторвем ихиндексы и выпишем их в той же очередности, то получим т.н.ХАРАКТЕРНУЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИНДЕКСОВ для выражения (А). Итак, характерная последовательность индексов выражения(А) имеет следующий вид: s s ----- ----s s s..........................(1) ss ssСейчас, идя слева направо, посмотрим, найдем ли мы в этойпоследовательности индексов такое сомкнутое сочетание индексов,которое на первом месте имеет индекс в виде дроби, после которогонепосредственно следуют такие индексы, которые входят взнаменатель этого дробного индекса. Если мы найдем одно илинесколько таких сочетаний, то вычеркиваем первое из них (идяслева направо) в последовательности индексов и заменяемчислителем дробного индекса. Полученную таким образом новуюпоследовательность индексов назовем первой производнойхарактерной последовательности индексов данного выражения (А).Для нашего примера она имеет вид: s ---- s s.............................. (2) ss Первая производная - это дробный индекс, после которогонепосредственно следует такое же сочетание индексов как то,которое образует знаменатель этого дробного индекса. Мы можемприведенным выше способом ее преобразовать, образуя вторуюпроизводную, которая имеет вид простого индекса s....................................(3)и которую, поскольку она не ведет к новым производным, назовемпоследней производной характерной последовательности индексоввыражения (А). Последнюю производную характерной последовательностииндексов данного выражения назовем ПОКАЗАТЕЛЕМ ЭТОГО ВЫРАЖЕНИЯ. Определим еще показатель сформулированного в естественномязыке предложения на стр.???. Его характерная последовательностьиндексов и его очередные производные представляются следующимобразом: s --- n --- s s --- --- s n n s s --- ----- ---- -- n --- n (характерная последовательность ss s s n n индексов) --- --- n n ---- s --- n s --- s n s s --- ----- -- n --- n (1. производная) ss s n n --- n s s s --- --- n -- n (2. производная) ss n n s s --- s ---n (3. производная) ss n s --- s s (4. производная) ss s (5. и последняя производная). Теперь мы можем привести определение: выражение являетсясинтаксически связанным тогда и только тогда, когда 1] ононасквозь правильно составлено, 2] каждому входящему в этовыражение функтору в качестве главного функтора некоторой ступенисоответствует ровно столько аргументов, сколько букв содержитзнаменатель его индекса и 3] оно имеет показатель, которыйявляется единичным индексом 4). Этот индекс может иметь вид единичной литеры, однако можетиметь и вид дроби. Так, например, выражение пахнет очень сильно s s s - - -- n n n - -- s s - --, n n - s - n - s - n характерной последовательностью индексов которых является s - n - s s - - n n s - - - s s n - - n n - s - n sимеет в качестве показателя дробный индекс ---. n Как пример синтаксически несвязанного выражения приведемследующее сочетание слов: F (ф):<->: ~ ф (ф) s s s s s s -- -- -- -- -- -- s n ss s n n -- nХарактерной последовательностью индексов этого выражения и егопроизводными являются: s s s s s s s s s s -- -- -- -- -- -- --s -- -- -- ss s n s n n ss s n s --- nПервая производная, которая здесь является одновременно ипоследней, образует показатель, который, как легко заметить,состоит из нескольких индексов. Таким образом, приведенноевыражение не является синтаксически связанным (исследованное вэтом примере сочетание слов образует известное "определение",которое приводит к расселловской антиномии класса классов, несодержащих самих себя в качестве элементов). Показатель синтаксически связанного выражения представляеткатегорию значения, к которой принадлежит это составное выражениекак целое. 6. Символика, которая связала бы с отдельными словами ихиндексы, не потребовала бы скобок или иных средств с тем, чтобыуказывать расчленение ее синтаксически связанных выражений(взаимную принадлежность функторов и их аргументов). Для этогобыло бы достаточно строго придерживаться той очередности слов,согласно которой определена очередность индексов в характернойпоследовательности индексов этого выражения. Это значит, чтонужно бы таким образом упорядочить слова каждого составноговыражения, чтобы они следовали друг за другом по принципу:сначала главный функтор, затем его первый, потом второй и т.д.аргументы. Например, предложение, записанное в символике Расселласледующим образом: p.q. --->.r:<->:~ r.q.-->~ p......................(A)должно было бы согласно этому принципу быть записано так: 1 -------+------- 5 ¦ 3 4 ¦ --+- ----+---- -+- ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ <-> -->. p q r --->. ~ r q ~ p.............(B) s s s s s s s s s s --- --- -- --- --- -- s s -- s ss ss ss ss ss s s ¦ ¦ L-----------T------------- 2 Назовем функтор n-аргументным, если знаменатель его индексасодержит n индексов. Тогда можно сказать, что выражение A тогда итолько тогда является k-ым аргументом n-аргументного функтора F ввыражении В, когда: I. из выражения В можно выделить несодержащую пропусков часть T, следующую непосредственно после F справой стороны, причем показатель этой части имеет тот же вид,что и знаменатель показателя F, II. эту часть Т удается безостатка разложить на n составных частей, не содержащих дальнейшихпропусков таким образом, что показатели этих последующихсоставных частей поочередно те же, что очередные индексы взнаменателе индекса F, III. A является k-ой среди этихпоследующих составных частей, IV. F и T совместно образуют целоевыражение В или член В (если быть точным, это пояснение следовалобы заменить определением по индукции). Согласно этому пояснению часть выражения В, обозначеннаяцифрой 3 является первым, часть обозначенная цифрой 4 - вторымаргументом знака импликации, обозначенного цифрой 5 в выраженииВ, ибо: I. из выражения В можно выделить часть, обозначеннуюцифрой 1 и не содержащую пропусков, непосредственно связанную справой стороны с частью, обозначенной цифрой 5, причем показательобозначенного цифрой 1 выражения имеет тот же вид, что изнаменатель индекса 5, II. часть, обозначенную цифрой 1, можноразделить без остатка на такие две части, которые не содержатпропусков и показатели которых поочередно являются такими же, чтои индексы, содержащиеся в знаменателе индекса 5, причем III.часть, обозначенная цифрой 3, является первой, а часть,обозначенная цифрой 4 - второй, и IV.части, обозначенные цифрами5 и 1 совместно образуют член выражения В. Преимущество такой символики индексов, благодаря которойоказываются излишними все скобки, может показатьсянезначительным, если принимать во внимание примеры толькопредложений пропозиционального исчисления. Для исчисленияпредложений проф.Лукасевич ввел символику, которая, даже безпомощи индексов, не требует никаких скобок либо подобныхвспомогательных знаков для сигнализирования состава синтаксическисвязанных выражений 5). Возможность устранения скобок без введения индексов в этомслучае объясняется тем, что в исчислении высказыванийиспользуется небольшое (практически не больше трех) числокатегорий значения, причем все переменные принадлежат только кодной категории значения, а число постоянных ограничено,благодаря чему категорию значения данного выражения можноотметить посредством выделения какой-то подробности его строения.В этом случае правила построения можно попросту вычислить. Однакокогда мы имеем дело с громадным, теоретически не ограниченнымчислом различных категорий значения, мы вынуждены прибегнуть ктому систематическому способу обозначения различных категорийзначения, каковым является наша символика индексов. Проводимые до настоящего времени исследования относилисьтолько к выражениям, не содержащим операторов (см. ниже $ 7).Сейчас мы займемся такими выражениями, в которые входят операторы. II. 7. Выше мы предположили, что каждое простое выражение языка,благодаря тому значению, каким оно обладает, можно причислить копределенной категории значения и таким образом снабдить егосоответствующим индексом. Все составные выражения можноанализировать по схеме "функторы и их аргументы" только тогда,когда это предположение выполнено. Для некоторых языков этопредположение, возможно, и выполнимо, однако, как кажется, длянекоторых символических языков оно не выполняется. Здесь мы имеемв виду такие языки, в которых используются т.н. операторы. Этоттермин охватывает такие знаки, как например, логический знаквсеобщности вида "(Пx)" или "(x)", называемый такжеквантификатором общности 6), затем логический знак существованияили частичный квантификатор "(Еx)", затем алгебраический знаксуммирования (сигма в пределах от к=1 до n - Б.Д.), знакпроизведения "П" (в пределах от x=1 до 100 - Б.Д.), знакопределенного интеграла (dx от 0 до 1 - Б.Д.) и т.п. Все этизнаки имеют одно общее свойство: они всегда относятся квыражениям, содержащим одну или более переменных и низводят однуили более из них к роли мнимой переменной. Таким образом, еслиоператор относится, например, к выражению, содержащему толькоодну переменную, то возникает сложное выражение, имеющееопределенное значение. Так, например, выражения "(Еx).x есть человек", "Ex¤(знаксуммирования сигма в пределах от x=1 до 10 - Б.Д.) имеютопределенные значения, хотя в них и входят переменные. Благодаряоператору эти переменные становятся мнимыми переменными, или же,говоря иначе, переменными, связанными оператором. Итак, разложение содержащего оператор выражения на функторыи их аргументы, категории значения которых были бы взаимносогласованы, например, общего предложения "(Пx).fx", кажется,встречается с непреодолимыми трудностями. Не вникая во внутреннее строение составного оператора "(Пx)"сразу отбросим напрашивающуюся интерпретацию синтаксическогостроения общего предложения "(Пx).fx", согласно которой в такомпредложении оператор "(Пx)" играл бы роль главного функтора, апринадлежащая ему пропозициональная функция - роль его аргумента.Если бы этот синтаксический анализ общего предложениясоответствовал действительности, то нужно было бы причислитьквантификатор всеобщности "(Пx)" к тем функторам, которые с однимпредложением в качестве своего аргумента образуют предложение итаким образом принадлежат к категории s/s. Однако следуетзаметить, что в экстенсиональной логике функтор типа s/s долженбыть истинностнозначным (truth functor). Тем самым пробег егозначений должен соответствовать одной из четырех таблиц: p ¦f1p p ¦f2p p ¦f3p p ¦ f4p ---+--- ---+--- ---+--- ----+---- 0 ¦ 0 0 ¦ 1 0 ¦ 1 0 ¦ 0 --+--- --+--- --+--- ---+---- 1 ¦ 1 1 ¦ 0 1 ¦ 1 1 ¦ 0 ¦ ¦ ¦ ¦Другими словами, если бы квантификатор всеобщности был функторомs/s, то предложение (Пx).fxдолжно было бы быть эквивалентно либо 1) fx, либо 2) ~fx, либо3) независимо от x должно было бы быть всегда истинным, либо 4)всегда быть ложно. Однако все эти случаи не соответствуют смыслу,какой связывается с выражением "(Пx).fx". Следовательно, вэкстенсиональной логике нельзя понимать оператор "(Пx)" какфунктор типа s/s. Однако поскольку этот оператор совместно спредложением "fx" образует предложение, то он не может быть инымфунктором. Однако возникает догадка, что синтаксическое строение общегопредложения (Пx).fxможет быть также интерпретировано иначе, чем прежде. Может не"(Пx)" является в этом предложении главным функтором, а "fx" -его аргументом, но может знак "П" является главным функтором, а"x" его первым, тогда как "fx" - его вторым аргументом. Тогдаследовало бы общее предложение правильно записывать в виде П(x,fx). Поскольку "x"может принадлежать к разным категориямзначения, постольку также и "П" должно было бы быть многозначнымв смысле своего типа. Например, если "x" принадлежит к категориипредложений, "f" - к категории s/n, то для того, чтобы "П(x,fx)"было предложением "П" должно было бы принадлежать к категорииs/ss. В этом случае "П" должно было бы в экстенсиональной логикебыть двузначным функтором истинности, а тем самым должно было бысоответствовать одной из 16 известных таблиц для двузначныхфункторов истинности. Однако можно легко показать, что это такжене удается согласовать со значением общего предложения "(Пx).fx". Таким образом, ни первым, ни вторым способом не удаетсяинтерпретировать синтаксическое строение общего предложениясогласно схеме функторов и аргументов. 8. Вместо переменной, к которой в утверждаемом предложенииотносится оператор, нельзя ничего подставлять. Таков смысл того,что переменная является "мнимой" или "связанной". С этой точкизрения совершенно иначе ведут себя функторы. Таким образом, если несвязывающую роль мы включим в понятиефунктора, а связывающую роль - в понятие оператора, тонепосредственно увидим, что оператор не может быть причислен кфункторам. Можно было бы привести еще и второстепенное различие междуфунктором и оператором, а именно то, что функтор может выступатьв роли аргумента другого функтора, оператор же никогда не можетбыть аргументом функтора. Кроме названных различий существует подобие оператора ифунктора. С выражением, к которому оператор относится, он можетобразовывать обладающее единообразным значением сложное целое также, как образовывает его функтор со своими аргументами. Тогдаможно было бы и для операторов добавить индексы, однако этииндексы нужно было бы отличать от индексов, приписываемыхфункторам по той причине, что при определении показателя ихнельзя трактовать также, как индексы функторов. А именно,поскольку оператор никогда не может быть аргументом, то и егоиндекс не может соединиться с предыдущим индексом в характернойпоследовательности индексов или в ее производных, но долженвсегда рассматриваться совместно с последующим за ним индексом.Поэтому индекс для операторов мы предлагаем в видесоответствующей дроби с вертикальной чертой с левой стороны.Поскольку квантификатор общности "(Пx)" с предложением образуетпредложение, тогда он получил бы индекс ¦s +---. ¦s Оператору как целостности мы сразу приписываем один индекс,хотя на первый взгляд оператор составлен из нескольких слов.Однако этим мы не нарушаем принципа, по которому индекс с самогоначала следует приписывать только отдельным словам, а индексы длясоставных выражений учитываются только как показатели (т.е. какпоследние производные последовательностей их индексов), ибооператор не может трактоваться как выражение, составленное изнескольких слов. В конечном счете оператор является простымвыражением, составленным из нескольких литер. Существуют методызаписи операторов, в которых это проявляется явно. Так например,проф.Шольц пишет "x" после "(Пx)". Характер оператора какпростого выражения проявляется очевидным образом и в обычнойзаписи, когда пишут "(x)" вместо "(Пx)", или "Пx" вместо "(Пx)". 9. Если выражение содержит оператор, то его показательдолжен вычисляться иначе, чем это показано выше, поскольку, еслибы мы обращались с индексами операторов также, как с индексамифункторов, то могло бы случиться так, что индекс оператора слилсябы с предшествующим ему индексом, что, как уже упоминалось,недопустимо. Рассмотрим, например, следующее выражение: F (Пx. x)..................................(A) s ¦s n --- +-- n ¦s ----- s ---. s Если бы мы образовывали его показатель согласно с ранееуказанными предписаниями, то получили бы следующие производные: 1) s 2) 3) --- n ¦s s ----- +--n --- n s s ¦s n ---. s Таким образом мы получили бы индекс всего предложения какпоказатель, тогда как выражение А, очевидно, являетсясинтаксическим нонсенсом. Новое правило получения показателя выражения требует ссамого начала отдельно трактовать ту часть характернойпоследовательности индексов, которая начинается с крайней правойвертикальной черты для того, чтобы для той части, которая тольков начале имеет индекс с вертикальной чертой, выделить согласностарого правила последнюю производную. При этом индекс с чертойтрактуется также, как индекс без черты,т.е. например,вместо ¦s, так же как и вместо "s ставится индекс "s", +--s ---s ¦s sаналогично и в прочих случаях. Вычислив последнюю производную части последовательностииндексов, начинающихся с последней вертикальной черты, вставляемее вместо этой части во всю последовательность индексов. При этомследует различать два случая. Или при вычислении последнейпроизводной части последовательности индексов, отделеннойпоследней вертикальной чертой, индекс, стоящий в ее начале пропал(т.е. при образовании n-ой производной от (n-1)-ой он оказалсявместе с последующими после него индексами заменен своимчислителем), или нет. Во втором случае, когда этот индекс не пропадает, мыостанавливаемся и считаем всю последовательность индексов,измененную вследствии замены части последовательности индексов,отделенной вертикальной чертой, ее последней производной и этуизмененную последовательность считаем последней производной всейхарактерной последовательности индексов, а тем самым и еепоказателем. В первом случае, когда пропадает последний индекс свертикальной чертой, начинающий отделенную ею частьпоследовательности индексов, также и во всей последовательностииндексов эта черта пропадает, а число всех вертикальных чертпоследовательности уменьшается на одну. В таком случае мыпродолжаем продвижение согласно этому же предписанию так долго,покаместь не придем к какому-то индексу с чертой, который уже несокращается или же не пропадут все индексы с чертами и мы непридем к последовательности индексов без черт, которую уже большене удается сократить. Последовательность индексов, являющуюсяпоследней в этой процедуре, мы называем последней производнойхарактерной последовательности индексов исследуемого выражения иего показателем. Покажем эти новые действия на примере следующего выражения: (Пfg):.(Пx).f x --> g x: -->: (Пx). f x.-->. (Пx). g x....(A) ¦ s ¦s s s s s ¦ s s s ¦s s +--- +-- ---n --- - n --- +--- --- n --- +-- -- n ¦ s ¦s s ss n ss ¦ s n ss ¦s n характерная этому выражению последовательность имеет вид: ¦ s s ¦ s s s s s ¦ s s ¦ s s +--- --- +--- --- ---n---n --- +--- -- n +-- -- n....(I) ¦ s ss ¦ s ss n n ss ¦ s n ¦ s n Сначала получим последнюю производную части, отделенной последнейвертикальной чертой: 1) ¦ s s 2) ¦ s 3) +--- -- n +--s s. ¦ s n ¦ s Теперь заменим в (I) часть, отделенную последней вертикальнойчертой, ее последней производной; таким образом, одной чертойстало меньше. Мы получим: ¦ s s ¦ s s s s s ¦ s s +--- --- +--- --- ---n---n --- +--- -- n s..............(II) ¦ s ss ¦ s ss s s ss ¦ s n С последовательностью (II) мы поступаем также, как поступили с (I): ¦ s s ¦ s s s s s +--- --- +--- --- ---n---n --- ss........................(III) ¦ s ss ¦ s ss n n ss К (I) опять применяем ту же процедуру. Таким образом мы ищемпоследнюю производную части, отделенную в (III) последнейвертикальной чертой. Так как эта процедура несколько длиннее, томы ее приводим: ¦ s s s s s +--- --- ---n---n --- ss.................................(1) ¦ s ss n n ss ¦ s s s s +--- ---s ---n --- ss......................................(2) ¦ s ss n ss ¦ s s s +--- ---ss --- ss...........................................(3) ¦ s ss ss ¦ s s +---s --- ss..................................................(4) ¦ s ss ¦ s +---ss..........................................................(5) ¦ s ss..............................................................(6) Это значение мы подставляем вместо части, отделенной в (III)последней чертой и получаем: ¦ s s +--- ---ss....................................................(IV) ¦ s ss Теперь легко вычисляем последнюю производную этой оставшейсяпоследовательности индексов. Ею является s.Найденная таким образом последняя производная первичнойпоследовательности индексов является показателем выражения (А). Для примера исследуем еще случай, когда не все индексы счертами пропадают. Возьмем выражение (Пx). f x: -->: (Пx). g(x,z) (B) ¦s s s ¦s n +-- -- n --- +-- ---n n ¦s n ss ¦s nn характерная ему последовательность индексов имеет вид: s ¦s s ¦s n --- +-- -- n +-- ---n n (I) ss ¦s n ¦s nn Образуем последнюю производную части, отделенную последнейвертикальной чертой. Она имеет вид: ¦s +--n ¦sНо при этом не пропал индекс с чертой. С учетом этогообстоятельства мы не опускаем черту и последняя производная I, атем самым и показатель B имеют вид: s ¦s s ¦s --- +-- -- n +-- n. ss ¦s n ¦s Таким образом, выражение В не имеет показателя в видеединичного индекса. Мы познакомились с методом получения показателя выражений,содержащих операторы. Очевидно, что этот метод содержит какчастный случай ранее рассмотренный метод, пригодный для выраженийбез операторов (при его формулировании нужно было бы тольковспомнить о "случайно" встречающихся индексах с чертами). Сейчасмы могли бы приведенную ранее дефиницию синтаксической связностиповторить дословно и она также была бы обязательна для выражений,содержащих операторы. 10. Понятие синтаксической связности выражений безоператоров совпадает с понятием их синтаксической связности.Однако для выражений с операторами к понятию синтаксическойсвязности должно добавиться еще одно условие. Это условиетребует, чтобы в аргументе каждого оператора, т.е. в выражении ккоторому оператор применим 7), каждой переменной, на которуюуказывает оператор, соответствовала эквиморфная переменная, несвязанная внутри этого аргумента. Лишь тогда, когда это условиевыполняется, синтаксически связанное выражение, содержащееоператоры, является также и синтаксически правильным. III. 11. Связывающую р
