Спектр дискретного сигнала

 

Преобразование Фурье для дискретного сигнала. Определим связь между спектром X(jω) аналогового сигнала х(t) и спектром Xт(jω) дискретного сигнала x_T(t), определенного моделью (19.2). Учитывая, что х_T(t) = x(t)f(t) согласно теоремы свертки (9.30) получим спектральную плотность дискретного сигнала

Подставив (19.6) в формулу (19.4) после изменения порядка интегрирования и суммирования и с учетом фильтрующего свойст­ва δ-функцни окончательно получим

Из (19.7) следует важный вывод: спектр дискретного сигнала x_T(t) (рис. 19.6 б) представляет собой сумму бесконечно боль­шого числа «копий» спектра аналогового сигнала (рис. 19.6, а), расположенных, на оси частот через одинаковые интервалы.

Следует отметь, что согласно (19.7) и рис. 19.6, б энергия спек­тра дискретного сигнала оказывается бесконечно велика, что явля­ется следствием идеализации реального сигнала моделью (19.2).

Если же использовать вместо дискретнзирующей последовательно­сти (19.1) последовательность импульсов конечной энергии (на­пример, прямоугольных импульсов), то получим спектр x_T(jω), энергия которого убывает с ростом ω («копни» X(jω) с ростом ω уменьшаются). В то же время следует еще раз подчеркнуть, что представление дискретного сигнала в форме (19.2) существенно упрощает анализ дискретных сигналов и цепей и широко использу­ется в расчетах.

Спектр дискретного сигнала Х_T(jω) можно найти и непосредст­венно из прямого преобразования Фурье (9.6) для дискретного сигнала (действует в момент t ≥ 0).

На практике в формулах (19.8), (19.9) часто вместо зависимо­сти Х_T(jω) рассматривают зависимости X_T(jf), которые легко можно получить путем замены ω = 2πf.

Следует отметить, что если не выполняется условие теоремы Котельникова: f_Д ≥ 2f_B, то спектры в (19.7) частично перекрывают­ся. На рис. 19.9, рис. 19.10 показан характер изменения спектра дискретного сигнала Х_T(f) при изменении частоты дискретизации сигнала x_T(t), ограниченного во времени интервалом Т_с (рис. 19.9) н неограниченного во времени (рис. 19.10).

Как следует из представленных графиков увеличение периода дискретизации Т >1/2F_B; F_Д < 2F_B приводит к наложению смеж­ных спектров в (19.7), что приводит к наложению спектра Х_T(f). Эти искажения называются ошибками наложения. Чтобы их уст­ранить необходимо частоту дискретизации увеличить до F_Д ≥ 2F_B.

Пример. Рассчитаем интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше 100 кГц.

Из условия задачи следует, что граничная частота спектра F_В равна 100 кГц. Тогда и соответствии с теоремой Котельникова имеем интервал дис­кретизации

 

Минимально допустимая частота дискретизации f д = 2Fb = 2-100 = 200 кГц.

Пример. Определим дискретные отсчеты сигнала длительностью t _и = 3 мс, приведенного на рис. 19.11, а, если в качестве граничной частоты спектра F_В принять значение З/t_и, выше которого все значения спектральной плотности уменьшаются более чем в 10 раз по сравнению с максимальным.

Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, од­нако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким обра­зом, чтобы отсекание частот превышающих F_В, привело к пренебрежимо ма­лым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере.

Отметим, что аналоговый сигнал x(t) можно полностью восста­новить по его дискретным отсчетам x(kT) с помощью ФНЧ, часто­та среза которого Этот вывод хорошо иллюстрирует рис. 19.10,

а из которого видно, что спектр сигнала на вы­ходе ФНЧ совпадает со спектром аналогового сигнала x(t).

Дискретное преобразования Фурье. Как следует из формулы (19.7) Х_T(jω) имеет периодическую структуру с ω_д = 2π/Т. При­чем, как и спектр аналогового сигнала X(jω) спектр дискретного сигнала Х_T(jω) является сплошным (см. рис. 19.6, 6). Вместе с тем при цифровой обработке сигналов используется не только дис­кретизация во времени, но и дискретизация в частотной области.

Для сигнала x(t) ограниченного во времени интервалом Т_с (рис. 19.12, а) справедлива обратная теорема Котельникова, которая может быть получена из (19.3) путем замены

С учетом вышеизложенного дискретное преобразование Фурье (ДПФ) можно получить, если в преобразовании (19.8) сделать за­мену ω= nΔω. Тогда получим

которое определяет прямое ДПФ.

С помощью (19.13) можно определить отсчеты спектра X(jn) по временным отсчетам сигнала x(k).

Обратное ДПФ можно получить из (19.13) воспользовавшись дуальностью прямого и обратного преобразований Фурье:

При k < О обратное преобразование Фурье определит x(k), расположенную слева от 0 (рис. 19.12, в).

Для ДПФ по аналогии с непрерывными преобразованиями Фу­рье справедливы основные теоремы и свойства (см. § 9.2).

В частности, свойство линейности

т. е. сдвиг последовательности отсчетов сигнала на т интервалов приводит лишь к изменению фазового спектра дискретного сигнала.

Теорема свертки:

Аналогично можно записать н другие теоремы для ДПФ. Заме­тим, что ДПФ можно использовать для определения не только спектра дискретных сигналов, но и спектра аналоговых сигналов, для чего его необходимо дискретизировать согласно теоремы Котельникова (19.3).

Для сокращения вычислений используют обычно алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Существует много разновидностей БПФ.