Формула Симпсона
Если заменить график функции на каждом отрезке разбиения не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапеций, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления определенного интеграла . Предварительно найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы , сбоку – прямыми , и снизу – отрезком . Пусть парабола проходит через три точки , , , где – ордината параболы в точке , – ордината параболы в точке . Площадь равна . (5) Выразим эту площадь через . Из равенств для ординат найдем, что , . Подставляя эти значения и в равенство (5), получим (6) Получим теперь формулу Симпсона для вычисления интеграла . Для этого отрезок на равных частей длины точками , . В точках деления вычислим значения подынтегральной функции : , где . Заменим каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными , одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным . На отрезке парабола проходит через точки , , . Используя формулу (6), находим . Аналогично находим , …, . Сложив полученные равенства, имеем или . (7) Формула (7) называется формулой Симпсона (или парабол). Абсолютная погрешность вычисления по формуле (7) оценивается соотношением , (8) где . Замечание. Формула (7) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда – многочлен степени меньше или равной трем. Пример. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, используя разбиение отрезка на 4 части. Сравнить полученный результат с точным значением. Решение. Найдем точное значение интеграла: . Шаг интегрирования . 1. Вычислим интеграл по формуле прямоугольников (1): . Обозначим , . Составим таблицу 1. Таблица 1.
Тогда . Абсолютная погрешность результата равна . 2. Вычислим интеграл по формуле трапеций (3): . Используя данные последнего столбца таблицы 1, получим . Абсолютная погрешность результата равна . 3. Вычислим интеграл по формуле Симпсона (7): . Используя данные последнего столбца таблицы 1, получим . Абсолютная погрешность результата равна нулю.
|