Операции над нечеткими множествами. Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности mA(x)Î[0,1], где x - действительное число, т.е. xÎR.

Нечеткое число показывает степень соответствия объекта данному нечеткому множеству. Причем:

а) существует такое значение носителя, в котором функция принадлежности равна 1, б) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности убывает.

Нечеткое число А нормально, если m_A(x)=1, выпуклое, если для любых x£y£z выполняется

m_A(x)³m_A(y)Lm_A(z).

Множество a - уровня нечеткого числа А определяется как

Аa = { x /m _A(x)³a}.

Подмножество S_AÌR называется носителем нечеткого числа А, если

S = { x /m_A(x)>0}.

Нечеткое число А унимодально, если условие m_A(x) = 1 справедливо только для одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если m_A(0) = (m_A(x)).

Нечеткое число А положительно, если " xÎ S_A, x >0 и отрицательно, если " xÎ S_A, x <0.

Итак, нечеткое множество- это множество значений носителя, такое, что каждому значению носителя сопоставлена степень принадлежности этого значения данному множеству.

Выделяют трапециевидные и треугольные нечеткие числа, функции принадлежности которых имеют соответственно вид:

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):

Вычислениями над нечеткими числами занимается отдельный раздел теории нечетких множеств - мягкие вычисления (нечеткая арифметика). Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности. Как и в арифметике, используют операции «сложения», «вычитания», «умножения» и пр.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = { x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

m_A(x ₁)=0,3; m_A(x ₂)=0; m_A(x ₃)=1; m_A(x ₄)=0,5; m_A(x ₅)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/ x ₁; 0/ x ₂; 1/ x ₃; 0,5/ x ₄; 0,9/ x ₅ } или

A = 0,3/ x ₁ + 0/ x ₂ + 1/ x ₃ + 0,5/ x ₄ + 0,9/ x ₅, или

A =	x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0,3     0,5 0,9

.

Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Пусть Х=(1,2.3.4,5,6,7,8,9.10). Тогда нечеткое множество «большие числа» может быть представлено следующим образом: А= «большие числа»=0,2/6+0,5/7+0,8/8+1/9+1/10. Это следует понимать следующим образом: 9 и 10 с абсолютной уверенностью можно отнести к «большим числам», 8 есть большое число со степенью 0,8, 1,2,3,4,5 абсолютно не являются большими числами.

Функцию принадлежности можно изображать графически. Например, график функции принадлежности «Оптимальный возраст работника».

 

Видно, что возраст от 20 до 30 оценивается экспертами как бесспорно оптимальный, а от 60 и выше- как неоптимальный. В диапазоне от 35 до 60 эксперты проявляют неуверенность в своей классификации, структура которой передается графиком функции принадлежности.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

Величина m _A(x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1 ( m _A(x)=1). При m_A(x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто, если " xÎE m _A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле m_A(x):= .

Нечеткое множество унимодально, m _A(x)=1 только на одном x из E.

Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством m_A(x)>0, т.е. носитель A = {x/m_A(x)>0} " xÎE.

Элементы xÎE, для которых m_A(x)=0,5 называются точками перехода множества A.

Примеры нечетких множеств

Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: " несколько " = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель ={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию " возраст ", тогда нечеткое множество " молодой ", может быть определено с помощью

m _{"молодой"} (x) = .

Нечеткое множество " молодой " на универсальном множестве E' ={ Иванов, Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности m_{" молодой "}(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

m _{"молодой"} (Сидоров):= m_{" молодой} "(x), где x - возраст Сидорова.

Например, известны следующие данные

 

Фамилия	Возраст
Иванов
Петров
Сидоров
Грибков
Серов

 

Тогда данное множество можно описать следующим образом: ={1/18+0,96/26+0,02/64+0,34/32+0,003/85}

О методах построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎE значение m _A(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

x 1	высота лба	низкий	широкий
x 2	профиль носа	курносый	горбатый
x 3	длина носа	короткий	длинный
x 4	разрез глаз	узкие	широкие
x 5	цвет глаз	светлые	темные
x 6	форма подбородка	остроконечный	квадратный
x 7	толщина губ	тонкие	толстые
x 8	цвет лица	темный	светлый
x 9	очертание лица	овальное	квадратное

 

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает m _A (x)Î [0,1], формируя векторную функцию принадлежности { m _A (x₁), m _A (x₂),... m _A (x₉)}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: " этот человек лысый " или "этот человек не лысый ", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m _"лысый" (данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений.

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1 /a_ij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый.

Например, если некоторые варианты имеют следующие оценки по определенному критерию: А (180), В (170), С (160), D (150), то матрица сравнений может иметь вид

Альтернатива	А	В	С	D
А		0,2	0,14	0,11
В			0,33	0,2
С				1/3
D

В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида А _w = l_max w, где l_max - наибольшее собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.

Операции над нечеткими множествами

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

.

В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если и , то A называется собственным подмножеством B. Заметим, что . По определению .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Ниже перечислены основные операции над множествами:

· пересечение:

- операция над множествами А и В, результатом которой является новое множество, которое содержит те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В или обоим множествам.

· объединение:

- операция над множествами А и В, результатом которой является новое множество, которое содержит только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также:

· дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A):

· разность:

Пример. Пусть даны два множества A и B: A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6,7}. Тогда их объединением является множество

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек. Можно рассмотреть нечисловые множества (например, множество школьников и спортсменов будет пересекающимся множеством).

Заде предложил набор аналогичных операций над нечеткими множествами через операцию с функциями принадлежности этих множеств.

1) Включение.

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если " x ÎE m_A(x) m_B(x).

Обозначение: A Ì B.

Иногда используют термин " доминирование ", т.е. в случае когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.

2) Равенство.

A и B равны, если " xÎE m_A(x) = m_B (x).

Обозначение: A = B.

3) Дополнение.

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

" xÎE m_A(x) = 1 - m _B(x).

Обозначение: B = или A = .

Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

4) Пересечение.

AÇB - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

mAÇB(x) = min(m_A(x), m _B(x)).

5) Объединение.

А È В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

mAÈ B(x) = max(m_A(x), m _B(x)).

6) Разность.

А - B = АÇ с функцией принадлежности:

m_A-B(x) = mA Ç (x) = min(m_A(x), 1 - m _B(x)).

7) Дизъюнктивная сумма.

АÅB = (А - B)È(B - А) = (А Ç ) È( Ç B) с функцией принадлежности:

m_A-B(x) = max{[min{m _A(x), 1 - m_B(x)}];[min{1 - m_A(x), m_B(x)}] }

Примеры.

Пусть:

A = 0,4/ x₁ + 0,2/ x₂+0/ x₃+1/ x₄;

B = 0,7/ x₁+0,9/ x₂+0,1/ x₃+1/ x₄;

C = 0,1/ x₁+1/ x₂+0,2/ x₃+0,9/ x₄.

Здесь: AÌB, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

A ¹ B ¹ C.

= 0,6/ x₁ + 0,8/x₂ + 1/x₃ + 0/x₄;

= 0,3/x₁ + 0,1/x₂ + 0,9/x₃ + 0/x₄.

AÇB = 0,4/x₁ + 0,2/x₂ + 0/x₃ + 1/x₄.

АÈВ = 0,7/x₁ + 0,9/x₂ + 0,1/x₃ + 1/x₄.

А - В = АÇ = 0,3/x₁ + 0,1/x₂ + 0/x₃ + 0/x₄;

В - А = Ç В = 0,6/x₁ + 0,8/x₂ + 0,1/x₃ + 0/x₄.

А Å В = 0,6/x₁ + 0,8/x₂ + 0,1/x₃ + 0/x₄.

Вышеперечисленные операции как и обычные операции над множествами обладают схожими свойствами, например, коммутативность, ассоциативность. Но в отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае:

AÇ ¹ Æ,

AÈ ¹ E.