Ток смещения. Второе уравнение Максвелла

Эрстед обнаружил, что электрический ток создает магнит­ное поле; математически этот факт выражается теоремой о циркуляции магнитной индукции (3.13), которую для поля в магнетике можно записать в виде:

. С учетом (5.21) можно записать теорему о циркуляции напряженности магнитного поля: . (10.2)

Согласно гипотезе Максвелла, существует и другая причи­на возникновения магнитного поля. Коль скоро в соот­ветствии с законом электромагнитной индукции Фарадея (гл. 4) изменение магнитного поля приводит к появлению электрического поля, то должно быть справедливо и обратное: изменение электрического поля должно сопровождаться возникновением магнитного поля.

Покажем справедливость гипотезы Максвелла. Применяя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции, мы считали, что ток пронизывает плоскую поверхность (S₁ на рис. 10.2), ограниченную замкнутым контуром L. Но с таким же успехом можно было бы рассматривать поверхность S₂, опирающуюся на тот же контур интегрирования, поскольку эту поверхность пронизывает такой же ток I. Иначе говоря, любую поверхность, опирающуюся на контур интегрирования, пронизывает один и тот же ток. Значит, сила тока, входящего в объем, ограниченный поверхностями S₁ и S₂, равна силе тока, выходящего из этого объема. Это утверждение, по существу, эквивалентно первому правилу Кирхгофа.

Применим теперь теорему о циркуляции вектора к цепи, в которой происходит разряд конденсатора (рис. 10.3). Поместим поверхность S₁ между обкладками конденсатора. Кажется, что для поверхностей S₁ и S₂ циркуляция будет различной, так как через поверхность S₁ ток не протекает (I = 0). Однако эти две поверхности опираются на один и тот же контур, по которому и вычисляется циркуляция, которая должна быть одинаковой в обоих случаях. Максвелл разрешил проблему, связанную с отсутствием тока через поверхность S₁, пред­положив, что изменяющееся электрическое поле между обкладками конденсатора эквивалентноэлектрическому току, который он назвал током смещения. Ток смещения i_см как бы замыкает ток проводимости i, существующий в подводящих проводниках. Исходя из равенства тока смещения через поверхность S₁ току проводимости через S₂, выразим силу тока смещения через напряженность изменяющегося электрического поля между обкладками конденсатора.

Изменение заряда конденсатора q вызывается током в проводниках, поэтому: , где s - поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора, S – площадь пластин конденсатора, – электрическое смещение. При выводе была использована формула для напряженности поля в конденсаторе E=s/ee₀. Плотность тока смещения будет равна .

Справедливо также векторное соотношение:

(10.3)

Плотность тока смещения[1] равна производной от электрического смещения по времени.

В рассмотренном выше случае токи проводимости и смещения были разделены в пространстве, поэтому теорему о циркуляции (10.2) можно представить в виде: . Сумму токов, охватываемых контуром, мы заменили интегралом по поверхности S₁, сквозь которую протекает ток смещения, либо равным ему интегралом по поверхности S₂, сквозь которую протекает ток проводимости.

В общем случае внутри контура интегрирования могут быть как токи проводимости, так и токи смещения, поэтому теорема о циркуляции будет выглядеть следующим образом:

. (10.4)

в котором скалярное произведение представлено в виде:

,

Аналогично представлено скалярное произведение .

Уравнение (10.4) называют вторым уравнением Максвелла в интегральной форме. Оно выражает идею Максвелла о том, что магнитное поле создается токами проводимости и переменным электрическим полем.

Проиллюстрируем второе уравнение Максвелла. Пусть в некоторой области пространства, заполненной веществом, электрические и магнитные свойства которого одинаковы во всех точках, вектор электрического смещения направлен вверх и возрастает по величине: (рис.10.4). Если в этой области отсутствуют токи проводимости, уравнение (10.4) будет иметь вид: или

. Поскольку ин интегрирование и дифференцирование в правой части последнего выражения проводятся по разным переменным, эти операции можно поменять местами:

.

Интеграл есть не что иное, как поток вектора напряженности электрического поля. Знак потока через площадку S, ограниченную контуром L, зависит от направления нормали к площадке, а направление последней связано с направлением обхода контура правилом буравчика. В случае, показанном на рис. 10.4, знак потока будет положительным, производная от потока также положительна (поле возрастает), и знак циркуляции вектора магнитной индукции поля положителен. Это означает, что во всех точках контура L линия индукции магнитного поля В направлена по направлению обхода. Отметим, что линии магнитной индукции расположены в плоскости, перпендикулярной вектору напряженности электрического поля.