Пример. Построить дискретный спектр стационарной случайной функцииX (t) — [U 1 cos 2t + Vi sin 2/]-\-[Uz cos 3/ -j- Vt sin 3/]-f- -f- [Ua cos At + Va sin 4/], если случайные величины Ui, U2, Ua\ Vt, Vt, Va не коррелированы, их математические ожидания равны нулю и заданы дисперсии: D(U1) = D(V1) = 5, 0(У2) = 0(^) = 6, D (Ua) = D(Va) = 4. Решение. Отложив на горизонтальной оси частоты <ot = 2, ю4 = 3, Ид = 4, а на вертикальной оси — соответствующие им ординаты Z)1 = 5, Dt = б, D3 = 4, получим график искомого спектра. Б. Равноотстоящие частоты, множество их бесконечное (счетное). В предыдущем пункте предполагалось, что число частот в спектральном разложении (*) конечно, а сами частоты—произвольные числа. Теперь рассмотрим спектральное разложение вида X (t)— 2 [Уi cos + V{ s'n (= i в котором число частот бесконечно (счетно), они равноотстоящие, причем разность любых двух «соседних» частот Дсо = со,-+1—со,- = п/Т (t = 1,2,...), где Т —действительное положительное число. Таким образом, я 2л Я« ®i Т * ' ' ' * т • ' ‘ * Напишем корреляционную функцию [см. § 1, формула (*•**)] рассматриваемой стационарной случайной функции X (/), положив to,’ = ni/T, п = о о: СО ftx(T) = XD<cos-T-T- (*) При т = 0, учитывая, что kx(0) = DX, получим = 2 А:• (**) i= 1 Итак, дисперсия стационарной случайной функции, которая может быть представлена в виде суммы бесконечного (счетного) множества гармоник с равноотстоящими частотами, равна сумме дисперсий слагаемых гармоник (если сумма существует, т. е. ряд (**) сходится). Заметим, что соотношение (*) можно рассматривать как разложение корреляционной функции в ряд Фурье по косинусам. Из (*•) видно, что kx (т) — периодическая функция с периодом 2 Т, поэтому коэффициенты Фурье т Dt = ~ ^ kx (т) cos Цг т dx, или, учитывая, что (о,= ш'/Т и подынтегральная функция— четная, >г Dj = y- ^ kx (х) cos (0/т dx. о Если каждой частоте o>; — ni/T (t = l, 2,...) ставить в соответствие дисперсию D,-, то получим, как и в случае конечного числа произвольных частот, дискретный линейчатый спектр, причем число спектральных линий (ординат D,) бесконечно (счетно) и они равноотстоящие (соседние спектральные линии находятся одна от другой на одном и том же расстоянии Ды — я/Т).
|
