Приклад. Визначити лінійну залежність (незалежність) матриці А = 2 5 6 .

(14 31

Визначити лінійну залежність (незалежність) матриці А = 2 5 6.

3 5 9

або Л А1 + Л2 А2 = Л А3. Тобто третій стовпець є

А Позначимо стовпці матриці А₁, А₂, А₃. Тоді при Д = 3; Л = 0; Л₃ = 1

(11		(41		(31
	+ 0 •		= 1 •
13 ^		15 ^		19)

одержимо: 3 •

 

лінійною комбінацією двох інших стовпців цієї матриці, а значить матриця є лінійно залежною. ►

Ранг матриці дорівнює максимальному числу 'її стовпців (рядків), що утворюють лінійно незалежну систему. Якщо визначник матриці дорівнює ну­лю, то один із його стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших сто­впців (рядків).

Теорема: Визначник матриці дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли один з її стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (ряд­ків).

Знаходження рангу матриці за допомогою обчислення всіх її мінорів ви­магає занадто великої обчислювальної роботи. Так, наприклад, у квадратній ма­триці четвертого порядку 36 мінорів другого порядку. Тому для знаходження рангу застосовуються елементарні перетворення матриць:

1) перестановка рядків або стовпців;

2) множення рядка або стовпця на число відмінне від нуля;

3) додавання до одного з рядків іншого рядка, помноженого на число або додавання до одного зі стовпців іншого стовпця, помноженого на число.

Визначення: При елементарних перетвореннях ранг матриці не зміню­ється.

Алгоритм обчислення рангу матриці схожий на алгоритм обчислення визначника й полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень мат­риця зводиться до простого вигляду, для якого знайти ранг не завдає клопоту. Оскільки при кожному перетворенні ранг не змінюється, то, обчисливши ранг перетвореної матриці, ми тим самим знаходимо ранг первинної матриці.

Нехай ранг матриці дорівнює г. Тоді будь-який мінор порядку г, відмін­ний від нуля, називається базисним мінором.