Нормальное уравнение плоскости Расстояние от точки до плоскости . Условия принадлежности 4 точек одной плоскости.

В векторной форме уравнение плоскости имеет вид

 

, .

 

Если нормальный вектор плоскости – единичный,

, ,

 

 

тогда уравнение плоскости можно записать в виде

 

 

(нормальное уравнение плоскости).

– расстояние от начала координат до плоскости, , , – направляющие косинусы нормали

, , ,

 

 

где – углы между нормалью плоскости и осями координат соответственно.

Общее уравнение плоскости (8) может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель , знак перед дробью противоположен знаку свободного члена в (8).

Расстояние от точки до плоскости (8) находится по формуле, полученной подстановкой точки в нормальное уравнение

.

 

Пример 16. Даны точки , , . Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикулярно вектору . Привести его к нормальному виду.

Решение. Вектор имеет вид . По формуле (6) составим общее уравнение искомой плоскости

.

Найдем нормирующий множитель

.

 

Умножая уравнение плоскости почленно на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости

,

 

где коэффициенты при – соответствующие направляющие косинусы нормали, расстояние от начала координат до плоскости .

Ответ: общее уравнение плоскости: ; нормальное уравнение: .

Пример 17. Даны точки , , . Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. Составим уравнение плоскости

,

 

.

 

Расстояние от до плоскости

.

 

Ответ: расстояние от до плоскости ед. длины.