ІІ.5.1. Критический анализ существующих положений фрактальной геометрииХод исторического развития есте-ствознания в конце ХХ века привел к возникновению теории хаоса, фракта-льной геометрии и синергетики. Дости-жения этих наук раскрыли содержание нелинейных объектов, процессов и яв-лений в природе, имеющих фракталь-ные структуры и обладающих способ-ностью к самоорганизации. Можно ска-зать, что они являются тремя взаимо-связанными подсистемами современ-ной Системы познания мира. Среди них теория хаоса и синергетика носят преи-мущественно вербально-аналитический характер, а его визуализацией зани-мается фрактальная геометрия. Познавательный интерес к содер-жанию этой новой постевклидовой гео-метрии вызывает ряд вопросов, кото-рые требуют однозначных ответов. 1-й вопрос: (состоит из 3-х подвоп-росов): 1.1. Какое концептуальное простра-нство описывает фрактальная геометр-рия? 1.2.Какова аксиоматика фракталь-ной геометрии? 1.3.Каково определение фракталь-ной геометрии? Рассуждения по этому поводу. Принято считать, что геометрией является фундаментальная математи-ческая дисциплина, аксиоматически описывающая геометрические свойства тех частей реального пространства, ко-торые занимают в нем вещественные тела. При этом к числу геометрических относятся позиционные и метрические свойства действительной формы реа-льного объекта. Эти свойства успешно описывает евклидова геометрия. Но в качестве описываемых объектов она принимает материализованные идеа-лизации концептуальных геометричес- систем взаимосвязанных точек, линий и поверхностей, которые в реальном пространстве в качестве естественных объектов практически не существуют. Реальное пространство заполнено объектами природы, не поддающимися описанию средствами евклидовой гео- метрии. Поэтому до возникновения ком-пьютерных изобразительных техноло-гий эти объекты изучались морфологи-ческими разделами тех естественных наук, для которых они были предмета-ми исследования. Средством визуали-зации получаемых результатов было рисование с натуры. Цифровые технологии и компью-терная графика резко расширили поз-навательные возможности человека, в результате чего возникла возможность визуализировать различные аналити-ческие зависимости, описывающие как линейные, так и нелинейные процессы. В результате визуализации «множеств Жюлиа», которые возникли в рамках так называемой «теории итераций ра-циональных отображений комплексной плоскости», Б.Мандельброт получил их компьютерные изображения, которые натолкнули его на мысль визуализи-ровать квадратичную зависимость Z® ® Z 2 + C, давшую все многообразие его фракталов. Таким образом, концептуальным пространством гераклитового мира яв-ляется виртуальное компьютерное про-странство, элементами которого явля-ются различные аналитические зави-симости и программное обеспечение их визуализации. Так как эти «элементы» аналитические, то об их геометричес-ких свойствах говорить не приходится, а приходится говорить об особенностях программного обеспечения «самопо-добия» и «масштабной инвариантно-сти» программируемого изображения. Очевидно, эти особенности определя-ются алгоритмами составления про-грамм, которые трудно назвать аксиом-мами. Таким образом, фрактальная гео-метрия, в традиционном понимании, не имеет своей аксиоматики, так как в её представлении не оговорены элементы фрактального пространства, и не акси-оматизированы отношения и связи ме-
жду ними. Отсутствует определение этой геометрии как фундаментальной геометрической системы, а в качестве предмета исследования выступает изо- бражения фрактала как красивой гра-фической конструкции. К слову сказать, в природе практи-чески отсутствуют реальные объекты, похожие на подавляющее большинство как линейных, так и нелинейных фрак-талов. В этом отношении она не отли-чается от евклидовой геометрии. Дру-гое дело, что с помощью различных фрактальных мультимедийных техно-логий можно получить реалистичные изображения любых как реальных, так и виртуальных (фантастических) объ-ектов, явлений и процессов, чем, в частности широко пользуются телеви-дение и кинематограф. Отсюда возможный ответ на 1-й вопрос.: 1.1.Фрактальная геометрия изобразительно моделирует виртуа-льное компьютерное пространство, заполненное программным обеспече-нием визуализации процессов итера-ции линейных и нелинейных анали-тических зависимостей. 1.2. Аксиоматика фрактальной геометрии в авторском исполнении не приведена. 1.3. Определение фрактальной геометрии как фундаментальной ма-тематической дисциплины в авторс-кой формулировке в его публикациях отсутствует. Вывод: Фрактальная геометрия Б.Мандельброта парадоксальна так же, как и начертательная геометрия Г.Монжа. 2-й вопрос: 2.1. Как понимать в определении фрактала, данного авто-ром: «фракталом называется струк-тура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» словосочетание «подобны целому»? 2.2. Что в структурах рассмо-тренных выше линейных и нелиней-ных фракталов является «целым» и каковы его «части», которые подобны целому и самоподобны друг другу? Рассуждения по этому поводу. Если следовать логике авторского определения фрактала, то «целым» должно быть то, что состоит из «час-тей», т.е., та дробномерная фракталь-ная композиция, которая получается в результате бесконечного количества итераций, подобно преобразующих исходную, довольно простую геометри-ческую фигуру инициатора. Преобразование подобия является разновидностью гомологии при не-собственной оси и собственном центре подобия. Так как таких преобразований бесчисленное множество, то, очевидно, они должны объединяться в группу по-добных преобразований, имеющую свои инварианты, в том числе и графи-ческие. Очевидно, они кодируются про-граммами итерирования, так как части подобны друг другу, но никак не подоб-ны целому. Если во фрактале «сне-жинка Коха» целым считать фигуру са-мой снежинки, то его четырехзвенные самоподобные части-генераторы никак не подобны её «бесконечнозвенной» фигуре. Если считать целым прямоли-нейный инициатор, то он не может состоять из множества ломаных само-подобных генераторов, не образующих фигуру снежинки. Получается парадо-кс, ибо «что присуще целому…, то не присуще части целого, но чтобы поз-нать целое, надо изучить его составные части» [56]. Редким исключением среди рас-смотренных линейных фракталов, у ко-торых чести подобны целому, является «золотая звезда» И.Тугого при условии, что роль «целого» играет центральная пентаграмма или инициатор преобра-зования. Особое внимание следует обратить на структуру таких фракталов, как «дра-кон» Хартера-Хейтуэя, «колбасу» Минь-ковского и «отель» Гильберта, получа-емых итерациями сдвига, а не подобия. В итоге полученные фигуры фракталов состоят не из самоподобных, а из кон-груэнтных фигур одного или нескольких типоразмеров. Таким образом, эти и по-добные им «фракталы» не подходят под определение Б. Мандельброта. Впрочем, если считать преобразование сдвига разновидностью подобия с не-собственными центром и осью, то они условно подходят под это определение. Отсюда возможный ответ на 2-й вопрос: Так как у большинства рас-смотренных фраталов части подоб- ны друг другу, но не подобны их сово-
Рис. ІІ.31. Отнесение элементов фрактальной картины к внешней системе отсчета
Рис. ІІ.32. Перспективне сокращения как пример самоподобия
купности как целому, то приведенное Б.Мандельбротом определение фрак-тала является некорректным. Вывод: Если фрактальная гео-метрия парадоксальна, а определение её основного объекта некорректно, то несомненная фрактальность при-роды требует создания её теории, адекватной её содержанию. 3-й вопрос:Что означает слово-сочетание «самоподобие или масш-табная инвариантность (бесконеч-ный скайлинг)»? Рассуждения по этому поводу Ответом на этот вопрос является сентенция «…то есть, фракталы на ма-лых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших» [7]. Очевидно, в понятие «фрактально-го» масштаба вкладывается смысл, от-личный от традиционного. Общеприня-то считать, что масштабом изображе-ния является численное значение отно-шения линейных размеров изображе-ния к линейным размерам изображен-ного объекта. В свою очередь, линей-ным размером чего бы то ни было яв-ляется отношение длины натуральной единицы измерения (мм, см, м) или единицы натурального масштаба к дли-не измеряемого отрезка. Понятие «масштаб» неразрывно связано с понятиями «изображение» и «изображаемый объект» (в традицион-ном понимании). Фрактал, как изобра-жаемый объект, в природе не сущест-вует. Там существуют природные объ-екты, имеющие фрактальную структуру. А фрактал, как изображение, сущест-вует. Но его линейные размеры не с чем сравнивать, (если понимать его как единое целое), так как не существует натуры, структура которой изоморфна структуре этого изображения. Отсюда следует, что изображение фрактала, как единое целое является системой взаимосвязанных частей, самоподобие которых определяется изменением ко-эффициента С в рекуррентном уравне-нии Z® Z 2 – C нелинейногоитераци-онного процесса. Тогда исчезает поня-тие единицы натурального масштаба. Но, так как понятие масштаба, неотъ-емлемое от понятия самоподобия оста-ётся, то в качестве единицы измерения частей фрактала можно принять, до-пустим, его инициатор. Тогда, участвуя в конструктивном процессе итераций этого инициатора, отношение его раз- мера к размеру связанного с ним гене-ратора сохраняется и поэтому «внут-ренний масштаб» фрагментов фракта-ла есть величина постоянная, опреде-ляемая отношением размеров инициа-тора и генератора. Но, если таким об-разом возникло понятие внутреннего масштаба как постоянной величины, то, очевидно, что для сравнительной оцен-ки различных по своим размерам физи-чески двумерных фрактальных фраг-ментов следует их отнести к системе двух взаимно-перпендикулярных осей декартовых координат, совмещенных с рамкой изображения. (рис.ІІ.31) Тогда самоподобные фрагменты приобретут название закономерно уменьшающихся в стремлении к дробномерному преде-лу или наоборот, закономерно увеличи-вающихся при обратном направлении итерации. В сравнении друг с другом, они будут характеризоваться словами «бо¢льший», «ме¢ньший». Внешне эта ситуация похожа на перспективу стол-бов вдоль дороги, изображения кото-рых закономерно уменьшаются, стре-мясь к нульмерному пределу в виде точки схода по принципу перспе-ктивных сокращений:«дальше – мень-ше, ближе – больше» (рис. ІІ.32). Так как все линейные фракталы практически придуманы их авторами, то нетрудно пополнять их галерею но-выми по их образу и подобию (рис.ІІ.32) или их вариантами (рис. ІІ.29, ІІ.30). К числу варианта «дракона» относится результат итераций генератора как ра-вностороннего прямого угла, образую-щего стороны равнобедренного треу-гольника, основанием которого высту-пает исходный прямолинейный иници-атор (рис. ІІ.29), роль котрого в после-дующих итерациях играют уменьшаю-щиеся стороны генератора. В итоге по-лучается фрактальный «дракон», само-подобно сжимающийся и закономерно усложняющий свою структуру (рис.ІІ.30) Если вернуться к линейным фрак- талам типа «дракона» Хартера-Хейту-эя (рис. ІІ.7), «колбасы» Миньковского (рис. ІІ.14), и «отеля» Гильберта (рис. ІІ.15), элементы которых не самоподоб-
Рис. ІІ.33. 2 итерациифрактального расширения квадрата
Рис. ІІ.34. Результат третьей итерации квадрата
Рис. ІІ.35. Результат4-й итерации квадрата (снежинка Ткача-Нифанина)
ны, а конгруэнтны, то их внешний мас-штаб будет совпадать с внутренним и будет величиной постоянной. Отсюда вариант ответа на 3-й воп-рос: так как изменения размеров частей фрактального изображения как целого определяются изменением параметра С в рекуррентной формуле итерационного процесса, то их вну-тренний масштаб есть величина по-стоянная, а количественная мера их изменения определяется результата-ми их отнесения к внешней системе отсчета. Общие выводы из рассуждений: 1.Так как наука о фракталах на-зывается фрактальной геометрией, то она должна иметь все признаки фундаментальной геометрической науки: однозначное определение, ак-сиоматику, предмет и метод иссле-дования этого предмета. 2. По своей природе фракталы являются графо-аналитическими мо-делями динамических процессов, опи-сываемых соответствующими рекур-рентными уравнениями их итераци-онных преобразований. 3.Так как фракталы это изо-бражения, то они, как своеобразные графики и диаграммы тех динами-ческих процессов, которые описыва-ются соответствующими аналити-ческими зависимостями, обладают изобразительными свойствами, коди-рующими информа-цию о количествен-ных и качественных характеристиках этих процессов. Изу-чение этих свойств должно быть предме-том исследования фрактальной геоме-трии как фундамен-тальной науки.
|
