Гармонические колебания

Гармонические колебания – колебания, при которых физическая величина, характеризующая эти колебания, изменяется во времени по синусоидальному закону .

Графиком гармонических колебаний является синусоида (рис. 1):

Рис. 1.

Выбор начальной фазы позволяет при описании гармонических колебаний перейти от функции синуса к функции косинуса:

.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде:

, или

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

,

где – масса колеблющегося тела.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний – уравнением гармонического осциллятора.

1.2. Сложение колебаний

Неpедки случаи, когда система одновpеменно участвует в двух или нескольких независимых дpуг от дpуга колебаниях. В этих случаях обpазуется сложное колебательное движение, котоpое создается путем наложения (сложения) колебаний дpуг на дpуга. Очевидно, случаи сложения колебаний могут быть весьма pазнообpазны. Они зависят не только от числа складываемых колебаний, но и от паpаметpов колебаний, от их частот, фаз, амплитуд, напpавлений. Не пpедставляется возможным обозpеть все возможное pазнообpазие случаев сложения колебаний, поэтому огpаничимся pассмотpением лишь отдельных пpимеpов.

Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой

Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний заданы в следующем виде:

,

 

где и – смещения; и – амплитуды; и – начальные фазы складываемых колебаний.

Рис.2.

Амплитуду результирующего колебания удобно определить с помощью векторной диаграммы (рис. 2), на которой отложены векторы амплитуд и складываемых колебаний под углами и к оси и по правилу параллелограмма получен вектор амплитуды суммарного колебания .

Если равномерно вращать систему векторов (параллелограмм) и проектировать векторы на ось , то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов , и при этом остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора тоже будет гармоническим.

Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту. Определим модуль амплитуды А результирующего колебания. В угол (из равенства противоположных углов параллелограмма).

Следовательно,

отсюда: .

Согласно теореме косинусов ,

или

. (1)

Начальная фаза результирующего колебания определяется из :

 

 

Соотношения для фазы и амплитуды позволяют найти амплитуду и начальную фазу результирующего движения и составить его уравнение: .

Биения

Рассмотрим случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга , и пусть амплитуды одинаковы и начальные фазы , т.е.

Сложим эти уравнения аналитически:

Преобразуем

Тогда

Рис. 3.

Так как, медленно изменяется, величину нельзя назвать амплитудой в полном смысле этого слова (амплитуда величина постоянная). Условно эту величину можно назвать переменной амплитудой. График таких колебаний показан на рис.3. Складываемые колебания имеют одинаковые амплитуды, но различны периоды, при этом периоды и отличаются незначительно друг от друга. При сложении таких колебаний наблюдаются биения. Число биений в секунду определяется разностью частот складываемых колебаний, т.е

Биения можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты и колебаний близки друг к другу.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат , расположив начало координат в положении равновесия точки. Обозначим смещение точки С вдоль осей и , соответственно, через и . (рис. 4).

Рассмотрим несколько частных случаев.

1). Начальные фазы колебаний одинаковы

Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей и можно выразить уравнениями:

Поделив почленно эти равенства, получим уравнения траектории точки С:
или .

Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат (рис.4).

Рис. 4.

2). Начальная разность фаз равна :

Уравнения колебания в этом случае имеют вид:

,

Уравнение траектории точки:

(2)

Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат, но лежащей в других квадрантах, чем в первом случае. Амплитуда А результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна:

3). Начальная разность фаз равна .

Уравнения колебаний имеют вид:

,

Разделим первое уравнение на , второе – на :

.

Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Получим следующее уравнение траектории результирующего движения колеблющейся точки:

(3)

Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями и . При равных амплитудах траекторией суммарного движения будет окружность . В общем случае при , но кратным, т.е. , при сложении, взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым, называемым фигурами Лиссажу.

Фигуры Лиссажу

Фигу́ры Лиссажу́; – замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Рис.5.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний (рис. 5).

В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз или вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний (рис. 6).