Импликация и эквивалентность
Импликация – лат. implicatio – тесно связываю (условное высказывание, логическое следование). В естественном языке ей соответствует союз “если А, то В”, “когда А, тогда В”, “коль скоро А, то В”, “из А следует В”, “В необходимо для А”, А достаточно для В”, “А только тогда, когда В”, “В тогда, когда А”, “все А есть В”. Обозначается знаком “®“. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a®b. Пример: “Если через проводник проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз “если …, то…” часто соединяет такие предложения, которые выражают причинно–следственную связь явлений, и первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие этой причины. В приведенном примере прохождение электрического тока через проводник (причина) порождает его нагревание (следствие). Отсюда и название членов импликации. Эквиваленция – лат. aequivalens – равноценное. В естественном языке ей соответствуют союзы “А если и только если В”, “А тогда и только тогда, когда В”, “А эквивалентно В”, “А необходимо и достаточно для В”, “А тогда и только тогда, когда В”. Эта связка используется нами в тех случаях, когда мы хотим сказать, что два суждения в некотором смысле эквивалентны. Обозначается знаками “º“, “«“. Например: “В нормальных условиях вода замерзает тогда и только тогда, когда температура опускается ниже 0°С”, “Страховая премия выплачивается в тех и только в тех случаях, когда доказано наличие неумышленного ущерба”, “Людоед голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел”. Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью обозначений означает их формализацию. Упражнение №1 Используя связку “ если …, то …”, измените высказывание: 1) Человек, любящий животных – добрый. 2) Кончил дело – гуляй смело. 3) Знакомая дорога – самая короткая. 4) Тише едешь – дальше будешь. 5) Переходи улицу только на зеленый свет. 6) При встрече люди приветствуют друг друга. 7) В високосном году 366 дней. 8) Когда темнеет, зажигают фонари. 9) По стройке необходимо ходить в каске. Упражнение №2 Установите логическую структуру следующих суждений: 1) Если я устал, то не могу готовиться к занятиям. 2) Если четырехугольник – параллелограмм и не ромб, то его диагонали не взаимно перпендикулярны. 3) Неверно, что ветер дует, если и только если нет дождя. 4) Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если оно не вынуждено изменить это состояние под влиянием действующих сил. 5) Если мы пораньше освободимся и сходим в парк, то получим большое удовольствие. 6) Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра. 7) Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действует какая–либо сила. 8) Если Сергей и его хоровая капелла поедут в Москву, то, если запись пройдет успешно, их пригласят в Париж. 9) Если Иванов здоров и богат, то он здоров. 10)Число является простым, если оно делится только на единицу и само на себя. 11)Произвольно взятое число либо делится на 2, либо делится на 3. 12)Спортсмен подлежит дисквалификации, если он некорректно ведет себя по отношению к сопернику или судье, и если он принимал “допинг”. Таблица истинности для импликации и эквивалентности. Таблица истинности для эквивалентности проста: раз утверждается эквивалентность двух высказываний, то это утверждение будет истинным, когда члены эквиваленции имеют одно и то же значение – либо оба истинны, либо оба ложны. С импликацией дело обстоит сложнее. Рассмотрим суждение “Если Солнце взошло, то на улице стало светло”. Здесь импликация соединяет два простых суждения “Солнце взошло” и “На улице стало светло”. Когда первое из них истинно и второе истинно, то импликация в целом считается истинной. Второй случай: Солнце взошло, но на улице светло не стало. Если такое произошло, импликация считается ложной. Третий случай: Солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергает ли это импликацию? Нет, такое вполне возможно: на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом Солнца и наступлением светлого времени суток. Импликацию можно считать истинной. Наконец, четвертый случай: Солнце не взошло, и светло не стало. Это вполне естественно, импликация остается истинной.
Упражнение №3 Определить истинность следующих суждений: 1) Если он – ученый, то его сын – хороший ученик. 2) Если Луна сделана из зеленого сыра, то Лондон находится во Франции 3) Если асфальт мокрый, то идет дождь. 4) Слон голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел. 5) Если солнце ярко светит, то ты пойдешь на речку. 6) Монета падает орлом тогда и только тогда, когда она падает решкой 7) Если Костя – брат некто, то некто – брат Кости. 8) Если снег бел, то 2 х 2 = 4 Упражнение №4 Найти значения: 1) суждения a, если a®b=истина, b=ложь 2) суждения b, если a®b=ложь, a=истина 3) суждения b, если aºb=истина, a=истина 4) суждения р, если pºq=истина, Øq Ú r=истина Упражнение №5 Найти значения следующих суждений, если a=истина: 1) (b® a)® a 2) Øa ® (Øa & b) 3) aº Øa
Порядок выполнения логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Кроме того, на порядок операций влияют скобки.
Упражнение №6 Постройте таблицы истинности для следующих выражений: 1) (a & b) ® a 2) Ø(a ® (a Ú b)) 3) (a Ú b) ® (a & b) 4) (a ® b) ® (b ® a) 5) ((с & b) ® b) & (a & b)® b 6) ((a Ú Øb) ® b) & (Øa Ú b) 7) Ø(a & b) º (Øa Ú b) 8) Ø((a ® b) º (Øb ® Øa))
|
