Студопедия — Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Криволинейный интеграл I рода (по длине дуги)






 

Пусть на плоскости задана непрерывная кривая (или ) длины . В каждой точке дуги определена непрерывная функция . Разобьем кривую точками , , , …, на произвольных дуг с длинами . На каждой дуге выберем произвольную точку и составим интегральную сумму для функции по кривой .

(1)

 

 

Пусть - наибольшая из длин дуг.

Определение 1. Если при () существует конечный предел интегральных сумм (1), то его называют криволинейным интегралом от функции по длине дуги кривой
(или I рода) и обозначают или , т.е.

(2)

Теорема 2 (условие существования криволинейного интеграла I рода). Если функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогично вводится понятие криволинейного интеграла по пространственной кривой.

Основные свойства.

1. Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования.

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

, .

3. .

4. , .

5. Если для всех точек кривой , то

.

6. - длина дуги .

7. Теорема о среднем.

Если функция непрерывна на кривой , то найдется такая точка , что

.

Вычисление криволинейного интеграла I рода.

Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла.

1. Кривая задана в прямоугольной системе координат уравнением , , - непрерывно дифференцируемая функция.

Дифференциал дуги кривой , тогда

(3)

Пример 11. Вычислить , где - парабола , .

Решение.

1) Найдем :

;

2) Найдем :

.

3) Вычислим интеграл:

.

2. Кривая задана параметрическими уравнениями , , где и - непрерывно дифференцируемые функции.

Дифференциал дуги кривой , тогда

(4)

Аналогично для пространственной кривой , , :

(5)

Пример 12. Вычислить вдоль кривой , если .

Решение.

1) Найдем и :

,

.

2) Найдем :

.

3) Вычислим

.

3. Кривая задана в полярной системе координат уравнением

, .

Дифференциал дуги кривой , тогда

(6) Пример 13. Вычислить , где - лепесток лемнискаты , расположенный в I четверти.

 

Решение.

1) Найдем :

.

2) Найдем :

.

.

3) Вычислим.

Приложения криволинейного интеграла I рода.

1. Длина дуги кривой

(7)

2. Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельна оси , то площадь данной поверхности, задаваемой функцией , находится по формуле

(8)

3. Масса кривой

Пусть определяет плотность кривой в каждой ее точке , тогда

,

а масса всей кривой

,

точнее значение массы получим, если перейдем к пределу при :

(9)

4. Статические моменты, центр тяжести дуги кривой

, , , .

5. Моменты инерции

, , .







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 657. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

ТРАНСПОРТНАЯ ИММОБИЛИЗАЦИЯ   Под транспортной иммобилизацией понимают мероприятия, направленные на обеспечение покоя в поврежденном участке тела и близлежащих к нему суставах на период перевозки пострадавшего в лечебное учреждение...

Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки. В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия