ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ. Задача 1.Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхностиЗадача 1. Найти производную скалярного поля
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
Найти производную скалярного поля 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
Задача 4. Найти поток векторного поля
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Найти поток векторного поля 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
Задача 6. Найти поток векторного поля
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. Задача 7. Найти поток векторного поля
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
25. 26 27. 28. 29. 30. 31.
Задача 8. Найти поток векторного поля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 9. Найти поток векторного поля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Задача 10. Найти работу силы
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.
Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28. 29.
30.
31.
Задача 12. Найти модуль циркуляции векторного поля
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1) Скалярное поле. Производная по направлению. 2) Градиент, его свойства. Инвариантное определение градиента. 3) Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл. 4) Формула Остроградского. 5) Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Инвариантное определение дивергенции. Свойства дивергенции. 6) Соленоидальное поле, его основные свойства. 7) Линейный интеграл в векторном поле, его свойства и физический смысл. 8) Циркуляция векторного поля, ее гидродинамический смысл. 9) Формула Стокса. 10) Ротор векторного поля, его свойства. Инвариантное определение ротора. 11) Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования. 12) Потенциальное поле. Условия потенциальности. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1) Найти производную скалярного поля 2) Найти градиент скалярного поля 3) Доказать, что если 5 — замкнутая кусочно-гладкая поверхность и
где 4) Доказать формулу
где 5) Доказать, что если функция
где 6) Доказать, что если функция 7) Пусть 8) Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через начало координат. Вектор угловой скорости
|
в точке 
по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности 
, образующей острый угол с положительным направлением оси 
.
.
в точке 
.
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
.
при перемещении вдоль линии 
от точки 
к точке 
.
отрезок 
отрезок 
отрезок 
отрезок 
отрезок 
отрезок 
вдоль контура 
(в направлении, соответствующем возрастанию параметра 
по направлению градиента скалярного поля 
, где 
— постоянный вектор, а 
— радиус-вектор. Каковы поверхности уровня этого поля и как они расположены по отношению к вектору 
—вектор, нормальный к поверхности 
.
; 
; 
— орт внешней нормали к поверхности 
удовлетворяет уравнению Лапласа
то 
— производная по направлению нормали к кусочно-гладкой замкнутой поверхности 
пропорционален объему, ограниченному поверхностью 
, где 
— линейные функции от 
, и пусть 
— замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположенная в некоторой плоскости. Доказать, что если циркуляция 
отлична от нуля,
. Определить ротор и дивергенцию поля линейных скоростей 
точек тела (здесь 
