Закон больших чисел.В случае большого числа экспериментов можно получить гораздо более содержательные результаты. В узком смысле под «законом больших чисел» понимается ряд теорем, в основе которых лежит тот факт, что хотя отдельное наблюдение случайной величины может иметь довольно широкий разброс, средние значения ее ведут себя намного устойчивее. В широком смысле этот закон утверждает, что при очень большом числе случайных явлений средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степени определенности. Некоторые результаты в этом направлении дает использование неравенства Чебышева. Неравенство Чебышева. Для любого имеет место неравенство Законов больших чисел много. Один из них - знаменитый закон в форме Чебышева дается следующей теоремой. Теорема 1. Пусть случайные величины попарно независимы и существует число С такое, что для всех i выполнены неравенства . Тогда для любого имеем:
Теорема 2. (Бернулли). Пусть - число успехов в независимых испытаниях, - вероятность успеха в каждом испытании. Тогда при любом : ,
отсюда вытекает, что Геометрически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции. Задача 1. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина отклониться от своего математического ожидания менее чем на , где дисперсия, N - номер варианта. Р е ш е н и е:N=31, пусть События противоположные, следовательно тогда в силу неравенства Чебышева, тогда Задача 2. Случайная величина с одинаковой вероятностью может принимать одно из двух значений: i2 или -i2.Выяснить, удовлетворяет ли последовательность попарно независимых случайных величин закону больших чисел:
. Решить задачу для Решение: . По условию тогда следовательно, в формуле остается ряд Ряд сходиться, т. к. известный ряд сходиться при и расходиться при . Ряд расходиться, т. к. при В силу этого в первом случае при а во втором случае при это условие не выполнимо. Ответ: при закон больших чисел выполняется, при - не выполняется. Задача 3. На отрезке случайно выбраны n чисел, точнее, рассматриваются n независимых случайных величин равномерно распределенных на отрезке . Найти вероятность того, что их сумма заключена между х1 и х2, т. е. Решение: Известно т. к. то по условию имеем
тогда
Ответ:
|