Студопедия — Координаты точки на плоскости и в пространстве
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Координаты точки на плоскости и в пространстве






В настоящих методических указаниях будет рассматриваться только прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

Когда в условии задачи сказано «дана точка», то это значит, что координаты точки известны. Если в задаче необходимо «найти точку», то это означает, что следует определить её координаты. Фраза «дан отрезок прямой» означает, что известны координаты концов этого отрезка.

Координаты точки на плоскости записываются в скобках рядом с названием точки, причем всегда на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором – её ордината. Например, если x 1 – абсцисса точки A, а y 1 – ее ордината, то это записывается так: A (x 1, y 1). У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю. Обе координаты точки начала координат равны нулю. Для определения местоположения точки в пространстве используются три координаты – абсцисса, ордината и аппликата, это записывается так: A (x 1, y 1, z 1).

Пример 1.1. Постройте на плоскости точки A (2, 4)и B (–3, –2), найдите длину отрезка AB.

Решение. Выберем единицу масштаба и возьмем на плоскости прямоугольную систему координат. Абсцисса точки A равна 2, а ее ордината 4. Отложим на оси Ox вправо от начала координат О отрезок ОА 1 длиною в 2 единицы масштаба, а по оси Oy вверх от начала координат – отрезок OA 2 длиною 4 единицы масштаба. Из точки А 1 восстановим перпендикуляр к оси Ox, а из точки A 2 – перпендикуляр к оси Oy. Пересечение этих перпендикуляров и определит искомую точку А (рис 1.1).

Абсцисса точки B равна –3, а ее ордината –2. Отложим на оси Ox влево от начала координат О отрезок ОВ 1 длиною в 3 единицы масштаба, а по оси Oy вниз от начала координат – отрезок 2 длиною в 2 единицы. Из точки В 1 восстановим перпендикуляр к оси Ox, а из точки В 2 – перпендикуляр к оси Oy. Пересечение этих перпендикуляров и есть точка В (рис 1.1).

Расстояние d между точками A (x 1, y 1B (x 2, y 2) плоскости определяется по формуле . Расстояние d называется еще длиной отрезка AB. Расстояние между точками A (2, 4)и B (–3, –2) плоскости или длина отрезка АВ равна: единиц масштаба.

Ответ: .

Пример 1.2. Постройте на плоскости точки, симметричные точке
A (–2, 4)относительно: а) оси Ox; б) оси Oy; в) начала координат.

Решение. Для решения этой задачи следует помнить следующие определения. Две точки M и N называются симметричными относительно прямой, если отрезок MN перпендикулярен этой прямой, причем его середина лежит на этой прямой. Точки M и N называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка MN.

а) Точка В, симметричная с точкой A (–2, 4)относительно оси Ox, имеет абсциссу такую же, как и точка А, а ординату, равную по абсолютной величине ординате точки А, но противоположную ей по знаку (рис. 1.2). Значит, точка В имеет координаты –2 и –4: В (–2, –4).

б) Точка С, симметричная с точкой A (–2, 4)относительно оси Oy, имеет ординату такую же, как и точка А, а абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе точки А, но противоположную ей по знаку (рис. 1.2). Значит, точка С имеет координаты 2 и 4: С (2, 4).

в) Точка D, симметричная с точкой A (–2, 4)относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате точки А, но противоположные им по знаку (рис. 1.2). Значит, точка D имеет координаты 2 и –4: D (2, –4).

Пример 1.3. Постройте в пространстве точки A (2, 4, 3)и B (1, –3, –2), найдите длину отрезка AB.

Решение. Выберем единицу масштаба и возьмем в пространстве прямоугольную систему координат. Абсцисса точки A равна 2, ее ордината равна 4, а аппликата 3. Отложим на оси Ox вперед от начала координат О отрезок ОА 1 длиною в 2 единицы масштаба, по оси Oy вправо от начала координат – отрезок OA 2 длиною 4 единицы масштаба. Через точку А 1 проведем прямую, параллельную к оси Oy, а через A 2 – прямую, параллельную к оси Ox. Пересечение этих прямых определит точку A 3 (рис 1.3), через точку А 3 проведем прямую, параллельную оси Oz. Отложим на этой прямой вверх от А 3 – отрезок A 3 А длиною 3 единицы масштаба. Итак, точка A (2, 4, 3) построена.

Абсцисса точки B равна 1, ее ордината –3, аппликата –2. Отложим на оси Ox вперед от начала координат О отрезок ОВ 1 длиною в 1 единицу масштаба, а по оси Oy влево от начала координат – отрезок 2 длиною 3 единицы масштаба. Через точку В 1 проведем прямую, параллельную к оси Oy, а через В 2 – прямую, параллельную к оси Ox. Пересечение этих прямых определит точку В 3 (рис 1.3), через которую проведем прямую, параллельную оси Oz. Отложим на этой прямой вниз от В 3 – отрезок В 3 В длиною 2 единицы масштаба. Итак, точка B (1, –3, –2) построена.

Расстояние между точками пространства определяется по формуле, аналогичной формуле вычисления расстояния между точками плоскости. Расстояние между точками A (2, 4, 3)и B (1, –3, –2) и есть длина отрезка АВ: = единиц масштаба.

Ответ: .

Если даны точки A (x 1, y 1, z 1) и В (x 2, y 2, z 2) в пространстве, то координаты точки С (x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении определяется по формулам .

Если l = 1, то точка С (x, y, z) делит отрезок АВ пополам, и тогда координаты середины отрезка: .

Пример 1.4. Найти точку С – середину отрезка, соединяющего точки A (1, 5, 3)и B (1, –3, –1).

Решение. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Т. е. координаты точки С равны . Итак, середина отрезка АВ – точка С (1, 1, 1) (рис. 1.4).

Пример 1.5. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами А (1, 1), В (0, 4) и С (–3, –1) (толщину пластинки не учитывать).

Решение. Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Из элементарной геометрии известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке, причем эта точка делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим ее М (x, y).

Рассмотрим медиану, проведенную из вершины А. Один ее конец известен А (1, 1), а координаты другого ее конца D получим, как координаты середины отрезка ВС: .

Теперь, зная координаты начала А и конца D отрезка АD и то, что точка М делит этот отрезок в отношении l = 2, получаем .

Итак, центр тяжести треугольника АВС – точка М (рис. 1.5). Полученный результат приводит к выводу, что координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки, если не учитывать ее толщину, равны среднему арифметическому одноименных координат ее вершин.







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 1694. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия