Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора ´ на вектор , т. е. ( ´ , ).

Обозначаться смешанное произведение может: или × × .

Пример 1.23. Вычислите смешанное произведение векторов , и .

Решение. Векторное произведение векторов и вычислено в примере 1.20: = . Значит, по определению = ( ´ , ) = (–38, 1, –15)×(1, 1, –1) = –38 + 1 + 15 = – 22.

Можно воспользоваться формулой для вычисления смешанного произведения = , где – координаты вектора , – координаты вектора , – координаты вектора .

= = 8 + 3 – 14 – 24 – 2 + 7 = –22.

Ответ: = –22.

Пример 1.24. Компланарны ли три векторы , и ?

Решение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Вычислим смешанное произведение данных трех векторов: = = = 18 – 27 + 6 – 18 – 6 + 27 = 0. Значит, данные векторы компланарны, т. е. лежат в одной плоскости.

Пример 1.24. Найти объем V пирамиды ABCD, построенной на векторах , , .

Решение. Модуль смешанного произведения трех векторов, выходящих из одной точки, равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Следовательно, объем треугольной пирамиды – это шестая часть модуля смешанного произведения векторов, на которых она построена, т. е. V = .

Вычислим смешанное произведение трех данных векторов: = = 0 – 5 – 6 + 4 – 5 – 0 = – 12.

Таким образом, V = = = 2 (куб. ед.)

Ответ: V = 2.

Векторная алгебра.. 3

1. Координаты точки на плоскости и в пространстве. 3

1.2. Векторы в прямоугольной декартовой системе координат.. 7

1.3. Умножение вектора на число. 9

1.4. Сумма векторов. 10

1.5. Скалярное произведение векторов. 11

1.6. Векторное произведение векторов. 14

1.7. Смешанное произведение векторов. 16