Різні задачі

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 991

У попередніх розділах ми розглянули деякі методи та прийоми розв’язування задач з параметрами. Зрозуміло, що поза нашою увагою залишилося багато вправ як із іншими постановками умов, так і з спеціальними методами відшукання розв’язків. Нижче ми пропонуємо ряд таких задач.

Приклад 1. Обчислити значення виразу

при (параметри приймають значення, які не рівні між собою).

Довести тотожності

, ,

,

.

Розв’язання. Даний вираз являє собою многочлен третього степеня, який, як легко бачити, у чотирьох точках та приймає однакове значення 1. Тому він тотожно рівний 1. Тотожності випливають із рівності коефіцієнтів многочленів біля однакових степенів .

Відповідь. 1.

Приклад 2. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Насамперед зауважимо, що при та виконується нерівність , а при - нерівність . Це дає можливість зобразити графік функції

,

який допомагає зробити процес розв’язування більш наглядним (на рис. 1 він зображений жирнішою лінією). Тепер очевидно, що при та потрібно розв’язувати нерівність . При розв’язки належать інтервалу , а при розв’язки одержуємо у виді нерівностей та , де - корені рівнянь та відповідно (останній випадок зображено на рисунку).

Відповідь. при та , при та , якщо .

Приклад 3. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання. Графік лівої частини зображено жирнішою лінією на рисунку 2 і складається з частини графіка прямої , розглянутого на проміжку ,та експоненти , зображеної на промені . Пряма перетинає пряму у точці з абсцисою та графік при у точці з абсцисою . Користуючись рисунком, записуємо розв’язки.

Відповідь. при , , якщо . Для інших значень розв’язків нема.

Приклад 4. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Графік лівої частини являє собою промінь на проміжку та синусоїду при . При пряма перетинає тільки промінь, при на від’ємній півосі перетинає промінь, а на додатній перетинає або дотикається до синусоїди. При дана пряма перетинає тільки синусоїду або дотикається до неї.

Відповідь. при ; та при ; , якщо . При розв’язків нема.

Приклад 5. Знайти найменше значення виразу .

Розв’язання. Розглянемо на координатній площині точки та . Геометрично перший радикал у заданому виразі виражає довжину відрізка , а другий - довжину відрізка . Сума цих відрізків буде найменшою у тоді і тільки тоді, коли точка належить відрізку . У цьому випадку .

Відповідь. .

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

.

Розв’язання. Розглянемо на координатній площині точки та . Тоді перший радикал виражає довжину відрізка , а другий - довжину відрізка . Оскільки сума цих відрізків , то точка належить відрізку , а її координати задовольняють рівняння відрізка , тобто рівняння , де . Таким чином, початкова система рівносильна мішаній системі

.

Перші два рівняння дозволяють, скориставшись теоремою Вієта, скласти квадратне рівняння , корені якого є розв’язками системи при умові, що вони існують та належать відрізку . Із сукупності нерівностей дістаємо , або , звідки .

Відповідь. , при , при . Для інших значеннях розв’язків нема.

Приклад 7. При яких значеннях параметра а вираз приймає найменше значення, якщо змінні та задовольняють умову ? Знайти це мінімальне значення.

Розв’язання. Введемо у розгляд точки та . На мові геометрії поставлена задача означає, що на колі потрібно знайти таку точку , щоб сума довжин відрізків була мінімальною. Такою точкою є точка перетину кола із відрізком або їх точка дотику. Оскільки пряма проходить від центра кола на відстані , а радіус кола рівний , то мінімальне значення заданого виразу дорівнює =5, якщо .

Відповідь. Мінімальне значення 5 досягається при .

Приклад 8. Знайти мінімальне значення виразу , якщо змінні та задовольняють умову .

Розв’язання. Розглянемо відрізок, кінці якого знаходяться у точках та , а також довільну точку . Очевидно, що

, .

Якщо пряма перетинає відрізок , то мінімальне значення виразу досягається у їхній спільній точці і воно буде дорівнювати довжині відрізка . Цей випадок буде реалізовуватися при . Якщо ж пряма та відрізок не мають спільних точок, то мінімальне значення виразу досягається у точці перетину прямої із прямою , де точка симетрична до точки відносно прямої (рис. 2). Справді, у цьому випадку і для різних положень точки його довжина найменша. Тепер послідовно знаходимо , .

Відповідь. При мінімальне значення , для інших значень воно дорівнює .

Приклад 9. Сума кількох послідовних натуральних чисел дорівнює 1280. Знайти ці числа.

Розв’язання. Нехай . Тоді . Легко бачити, що числа та різної парності. Оскільки , то у випадку, коли множник непарний, тобто якщо , дістаємо , звідки . Якщо ж число парне, тобто , то рівність неможлива.

Відповідь. 1280=254+255+256+257+258.

Приклад 10. При яких натуральних значеннях параметра числа та є одночасно простими?

Розв’язання. Розглянемо випадки та . Серед чисел виду простим є число 3. Разом із ним простими є інші два числа, задані в умові задачі – це числа 17 та 41. При дістаємо число , яке ділиться на 3 і не є простим. При маємо . Серед таких чисел простих теж немає.

Відповідь. .

Приклад 11. При яких значеннях параметра існує єдина пара цілих чисел та , які задовольняють рівняння та систему нерівностей ?

Розв’язання. Запишемо початкове рівняння у виді . Оскільки згідно з умовою числа та цілі, то можливі чотири випадки:

, , та .

Розв’язуючи одержані системи, дістаємо чотири цілочисельні розв’язки , , та . Умові задовольняють тільки два із них: та . Тепер встановимо, при яких виконується тільки одна із нерівностей , . Розв’язавши нерівності і знайшовши перетин інтервалів та , отримуємо відповідь.

Відповідь. .

Приклад 12. При яких значеннях параметра а рівняння має більше додатних коренів, ніж від’ємних?

Розв’язання. Насамперед зауважимо, що якщо рівняння має корені, то вони розташовані симетрично відносно точки , тобто мають вид . Виходячи із цих міркувань, можна стверджувати, що додатних коренів буде більше ніж від’ємних тільки при . Вважаючи, що виконується ця умова, введемо заміну . Рівняння має корені та . При дістаємо рівняння із коренями . Число додатне, а корінь буде невід’ємним при умові . У випадку маємо , звідки . Число додатне, а корінь буде невід’ємним при . Таким чином, при рівняння має один додатний корінь та один корінь, який дорівнює 0, а при всі чотири корені додатні.

Відповідь. .

Приклад 13. Корені рівняння є натуральними числами. Довести, що є складеним числом.

Розв’язання. Нехай - корені заданого рівняння. Тоді, оскільки , то . Залишається зауважити, що обидва множники більші від 1.

Завдання для самостійного розв’язання.

1. Обчислити значення виразу

при (параметри приймають значення, не рівні між собою).

2. Яке із заданих чисел , 3, є найбільшим та найменшим?

3. Розв’язати рівняння .

4. Довести, що якщо є простим числом, яке відмінне від 2 та 3, то хоча б одне із чисел та не є простим при довільному значенні параметра .

5. При яких значеннях параметра існує єдина пара цілих чисел та , які задовольняють рівняння та систему нерівностей ?

6. Скільки розв’язків має система у залежності від параметра ?

7. При яких значеннях параметра серед коренів рівняння нема додатних?

.

9. Аналізуючи графік функції

, визначити знаки коефіцієнтів (рис.4 та 5).

утворюють арифметичну прогресію. При якому значенні це можливо?

11. Корені рівняння утворюють геометричну прогресію. Визначити значення .

12. При яких значеннях параметра а знайдуться такі значення , при яких числа є послідовними членами геометричної прогресії?

13. Знайти всі значення параметра , для кожного з яких пряма, яка проходить через точку , перетинає графік функції у двох точках, сума ординат яких дорівнює .

14. При яких значеннях параметра площа фігури, обмеженої лініями та буде найбільшою?

15. Обчислити значення виразу , якщо .

16. Розв’язати рівняння .

17. При яких значеннях параметра вираз не залежить від параметра , де - корені рівняння .

18. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

19. Відомо, що нерівність виконується при . Знайти всі розв’язки цієї нерівності.

20. При яких значеннях параметра система нерівностей має єдиний розв’язок?

21. При яких значеннях параметра рівняння має рівно два цілих розв’язки?