Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Перед лікарем-статистиком ЦРЛ було поставлено завдання визначити рівень загальної смертності населення району. Які вихідні дані він повинен використати?Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 740
Определение. Математическим ожиданием (средним значением) MX дискретной случайной величины X называют сумму произведений значений xi случайной величины и вероятностей pi = P{Х = xi}, с которыми случайная величина принимает эти значения: . При этом, если множество возможных значений случайной величины X счетно, предполагается, что
т.е. ряд, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины X не существует. Определение. Дисперсией DХ случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее среднего значения, т.е.
Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле
Нетрудно видеть, что дисперсия DX имеет размерность квадрата размерности случайной величины X. Для практических же целей удобно иметь величину, характеризующую разброс значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, размерность которой совпадает с размерностью X. В качестве такой величины естественно использовать , которую называют средним квадратичным отклонением случайной величины X (иногда также стандартом, или стандартным отклонением).
Пример 1. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, распределенной по биномиальному закону (число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р):
Пример 2. Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона. Тогда
Пример 3. Пусть случайная величина X имеет геометрическое распределение:
Определение. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события {X < x}, т.е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых : F(x) = P{X < x} Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее х. Теорема. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1) ; 2) F(x1) < F(x2) при x1 < x2 (т.е. F(x) − неубывающая функция); 3) , ; 4) ; 5) F(x) = F(x − 0), где (т.е. F(x) − непрерывная слева функция).
Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функцию распределения F(x). Пусть X − дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения x1, x2, ..., хn расположены в порядке возрастания. Тогда для всех х ≤ x1 событие {X < x} является невозможным и поэтому в соответствии с определением F(x) = 0. Если x1 < х ≤ х2, то событие {X < х}состоит из тех и только тех элементарных исходов ω,для которых Х(ω) = x1, и, следовательно, F(x) = p. Аналогично при x2 < х ≤ х3 событие {X < х} состоит из элементарных исходов ω, для которых либо Х(ω) = х1, либо Х(ω) = х2, т.е. {X < x} = {X = x1} + {X = x2},а следовательно, F(x) = p1 + p2 и т.д. Наконец, при х > хn событие {X < х} достоверно и F(х) = 1. Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке (−∞, x1] значение 0, на промежутках (xi, xi + 1], 1 ≤ i < n, − значение p1 + ... + pi и на промежутке (хn, +∞) − значение 1. |